Проверь себя: ошибки при сравнении дробей по размеру знаменателя — математика, 5 класс
5 класс · работа над типичными ошибками · 16 заданий · 25–30 минут
Почему ребёнок иногда выбирает дробь с большим знаменателем как большую? Он обращает внимание на число в записи, но забывает про размер одной части. У дробей с одинаковыми числителями всё наоборот: если целое одно и то же, чем больше знаменатель, тем меньше каждая доля. Но это не универсальный «закон больших и маленьких знаменателей»: при разных числителях и при разных целых вывод может измениться. На примерах ниже ученик учится сначала проверять условия, а только затем выбирать знак.
Модель одной и той же полоски. Разделите первую одинаковую полоску на 5 частей, вторую — на 8. Закрасьте в каждой ровно по 3 части: первая закраска длиннее. Проверка не требует калькулятора и помогает увидеть, почему простое сравнение чисел 5 и 8 даёт неправильный вывод о дробях.
Учительский приём. Попросите ученика отметить среди первых десяти пунктов два случая с одинаковыми знаменателями. Если он применяет к ним правило «меньше знаменатель — больше дробь», значит он ещё не различает условия двух правил.
Содержание статьи8 разделов
От одного частного примера к правилу
Представьте две одинаковые полоски бумаги. Первую делим на 4 равные части, вторую — на 7; одна четверть больше одной седьмой, хотя 4 меньше 7. Сначала исправьте простые ошибки, а затем объясните, на каких условиях работает приём.
- Исправь знак ученика: 1/4 < 1/7, потому что 4 < 7.
- Сравни 3/5 и 3/8 одного и того же целого; объясни знак.
- Верно ли 3/8 > 3/12? Назови применённое правило.
- Исправь объяснение: «5/9 < 5/11, ведь 9 < 11».
Общий алгоритм: сначала условия
Шаг 1: сравните целые — они должны быть одинаковыми. Шаг 2: проверьте числители: если они равны, меньший знаменатель означает большую положительную дробь. Шаг 3: если числители разные, это правило не применять; понадобятся другие признаки либо общая доля.
- Сравни 6/13 и 6/15.
- Сравни 7/10 и 7/9.
- Сравни 4/6 и 4/9.
- Ученик пишет 3/7 < 2/7, ведь 7 больше 2. Объясни, что надо сравнивать в действительности.
- Сравни 2/5 и 2/9, затем назови более мелкую единичную долю.
- Сравни 4/7 и 5/7: подходит ли правило одинаковых числителей?
Самостоятельная практика: проверяем границы правила
Здесь есть несколько случаев, где одного взгляда на знаменатели недостаточно. Изобразите доли полосками или приведите дроби к общему знаменателю, если такой способ уже изучен. Для сравнения долей разных целых обязательно учитывайте величину самих целых.
- Сравни 2/3 и 3/5, приведя к знаменателю 15.
- Сравни 3/4 и 5/6 с помощью двенадцатых долей.
- От ленты длиной 12 см взяли 5/6, а от другой длиной 24 см — 5/8. Какой отрезок фактически длиннее?
- От двух одинаковых пирогов отрезали 4/5 и 4/7. Какой кусок больше?
- Какая правильная дробь ближе к единице: 8/9 или 8/11? Объясни.
- Найди ошибку в фразе «1/100 больше 1/2, ведь 100 больше 2». Исправь с моделью целого.
Два правила, которые нельзя путать
Равные знаменатели. При сравнении 4/9 и 7/9 девятые доли равны по размеру. Больше та дробь, где долей больше: 4/9 < 7/9. Знаменатель не меняет знак, потому что он одинаковый.
Равные числители. У 4/9 и 4/12 взято по четыре доли, но размер долей разный. Девятая часть больше двенадцатой, поэтому 4/9 > 4/12. Нужно объяснять, почему увеличение знаменателя уменьшает размер одной части, а не только менять знак автоматически.
Различаются и числитель, и знаменатель. Сравнение 2/3 и 3/5 нельзя завершить словами «3 меньше 5»: такая аргументация ничего не говорит о величине дробей. Если знакомо приведение к общему знаменателю, перепишите их как 10/15 и 9/15. Если этот способ ещё не изучен, начертите две одинаковые полосы, разбитые на 15 частей, и закрасьте соответственно 10 и 9 клеток.
Проверьте также размер исходного целого. Две одинаковые дроби от разных длин могут означать разные реальные отрезки. Поэтому для задания о лентах в ответе должны быть не только сравнительные знаки между дробями, но и обе вычисленные длины в сантиметрах.
Ответы и разбор для учителя и самопроверки
Сначала завершите работу самостоятельно. При проверке обращайте внимание не только на результат, но и на то, обозначает ли знаменатель одну и ту же долю целого. Равные дроби можно оставлять несокращёнными, если это удобно для объяснения.
От одного частного примера к правилу — ключ
- Правильно 1/4 > 1/7: при одинаковом целом четверть крупнее седьмой части.
- 3/5 > 3/8. Три пятых больше трёх восьмых, потому что каждая пятая крупнее каждой восьмой.
- Да: при равных числителях и одном целом меньший знаменатель даёт большую дробь.
- Правильно 5/9 > 5/11: число частей целого больше при знаменателе 11, поэтому каждая часть меньше.
Общий алгоритм: сначала условия — ключ
- 6/13 > 6/15, поскольку числители одинаковы, а тринадцатые доли больше пятнадцатых.
- 7/10 < 7/9: девятые доли больше десятых.
- 4/6 > 4/9.
- 3/7 > 2/7; при одинаковых знаменателях сравнивают числители, а не знаменатель с числителем.
- 2/5 > 2/9; единичная доля 1/9 меньше 1/5.
- 4/7 < 5/7. Правило одинаковых числителей не подходит; знаменатели равны, больше числитель — больше дробь.
Самостоятельная практика: проверяем границы правила — ключ
- 2/3 = 10/15, 3/5 = 9/15; значит 2/3 > 3/5. Одним сравнением знаменателей ответ не обосновать.
- 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12; следовательно 3/4 < 5/6.
- Первый 12 : 6 × 5 = 10 см; второй 24 : 8 × 5 = 15 см. Второй длиннее на 5 см, хотя 5/6 > 5/8 как доли одинакового целого.
- 4/5 больше 4/7: целые равны, числители равны, пятые доли крупнее седьмых.
- 8/9 больше 8/11 и ближе к единице: до 1 ей не хватает 1/9, а для 8/11 недостаёт 3/11.
- 1/100 < 1/2. Если разрезать одинаковое целое на 100 частей, одна часть гораздо меньше половины.
Как проверить себя. Проверяйте каждый знак словами: «три пятых одного целого — это больше, чем три восьмых». Если перед дробями разные целые или разные числители, не переносите правило автоматически. Для заданий 11–12 используйте приведение к общему знаменателю лишь после знакомства с этим приёмом по своей программе.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.