Проверь себя: текстовые задачи на ограничения по бюджету — математика, 8 класс

Смета и ограничения: рабочая таблица

В задачах этой страницы цена дана в условных денежных единицах (можно считать рублями или тенге). Все суммы целые, количество покупаемых предметов — целое неотрицательное. Если покупка одного предмета требует ещё и оплаты доставки, вычитаем доставку из бюджета до деления. Важнейшая разница: «не дороже» допускает равенство, а «меньше бюджета» — не допускает.

Пример: на 1000 единиц покупают папки по 180, доставка 100. Составляем 100 + 180n ≤ 1000, значит 180n ≤ 900 и n ≤ 5. Можно купить пять папок: 100 + 5·180 = 1000. Шесть уже не помещаются в бюджет: 1180. Дробное число папок здесь не является ответом.

Серия А. Покупка без дополнительных расходов

Для каждого пункта составьте неравенство вида p·n ≤ B и найдите максимальное целое n. Для самопроверки вычислите расходы на n и на n + 1 штук.

1. Бюджет 850, цена одного предмета 75. Сколько тетрадей можно купить не более чем на эту сумму?
2. Бюджет 1240, цена одного предмета 160. Сколько альбомов можно купить не более чем на эту сумму?
3. Бюджет 620, цена одного предмета 95. Сколько ручек можно купить не более чем на эту сумму?
4. Бюджет 1500, цена одного предмета 230. Сколько наборов бумаги можно купить не более чем на эту сумму?
5. Бюджет 990, цена одного предмета 120. Сколько папок можно купить не более чем на эту сумму?
6. Бюджет 2000, цена одного предмета 275. Сколько наборов можно купить не более чем на эту сумму?
7. Бюджет 475, цена одного предмета 60. Сколько наклеек можно купить не более чем на эту сумму?
8. Бюджет 150, цена одного предмета 45. Сколько листов картона можно купить не более чем на эту сумму?
9. Бюджет 2100, цена одного предмета 350. Сколько пачек можно купить не более чем на эту сумму?
10. Бюджет 930, цена одного предмета 155. Сколько линеек можно купить не более чем на эту сумму?

Серия Б. Фиксированный сбор тоже расход

В каждом условии доставка или входной сбор оплачивается один раз за весь заказ. Запишите полное неравенство, не умножайте сбор на число товаров. Если после вычитания сбора денег не остаётся даже на одну вещь, ответ может быть нулём.

11. Есть 1200, из них 180 уйдёт на доставку; цена единицы 110. Найдите максимальное количество блокнотов.
12. Есть 980, из них 125 уйдёт на доставку; цена единицы 95. Найдите максимальное количество папок.
13. Есть 1700, из них 350 уйдёт на доставку; цена единицы 180. Найдите максимальное количество наборов карандашей.
14. Есть 1440, из них 200 уйдёт на доставку; цена единицы 125. Найдите максимальное количество альбомов.
15. Есть 875, из них 95 уйдёт на доставку; цена единицы 65. Найдите максимальное количество листов бумаги.
16. Есть 2300, из них 380 уйдёт на доставку; цена единицы 250. Найдите максимальное количество упаковок.
17. Есть 1650, из них 300 уйдёт на доставку; цена единицы 175. Найдите максимальное количество цветных маркеров.
18. Есть 760, из них 80 уйдёт на доставку; цена единицы 115. Найдите максимальное количество коробок мела.

Серия В. Хватит ли денег на указанный план?

Здесь надо не максимизировать покупку, а проверить конкретное ограничение. Ответьте «да» или «нет», укажите полную стоимость и недостачу либо остаток. Число предметов указано заранее.

19. Планируют купить 7 открыток по 95 за штуку; доставка 95, бюджет 780. Достаточно ли средств?
20. Планируют купить 5 наклеек по 160 за штуку; доставка 160, бюджет 1250. Достаточно ли средств?
21. Планируют купить 8 блокнотов по 190 за штуку; доставка 190, бюджет 2000. Достаточно ли средств?
22. Планируют купить 6 папок по 220 за штуку; доставка 220, бюджет 1450. Достаточно ли средств?
23. Планируют купить 9 тетрадей по 120 за штуку; доставка 120, бюджет 890. Достаточно ли средств?
24. Планируют купить 7 альбомов по 145 за штуку; доставка 145, бюджет 1620. Достаточно ли средств?

Проверка и решения

Для задач 1–18 проверяем две границы: стоимость n предметов не превосходит B, а n + 1 — уже превосходит B. Для 19–24 сравниваем точную стоимость с бюджетом; при нехватке считаем разницу, при избытке — остаток. Ниже приведены контрольные вычисления, а не только конечные числа.

1. 11 шт.; 0 + 75·11 = 825 ≤ 850; следующая штука стоила бы 900 > 850.
2. 7 шт.; 0 + 160·7 = 1120 ≤ 1240; следующая штука стоила бы 1280 > 1240.
3. 6 шт.; 0 + 95·6 = 570 ≤ 620; следующая штука стоила бы 665 > 620.
4. 6 шт.; 0 + 230·6 = 1380 ≤ 1500; следующая штука стоила бы 1610 > 1500.
5. 8 шт.; 0 + 120·8 = 960 ≤ 990; следующая штука стоила бы 1080 > 990.
6. 7 шт.; 0 + 275·7 = 1925 ≤ 2000; следующая штука стоила бы 2200 > 2000.
7. 7 шт.; 0 + 60·7 = 420 ≤ 475; следующая штука стоила бы 480 > 475.
8. 3 шт.; 0 + 45·3 = 135 ≤ 150; следующая штука стоила бы 180 > 150.
9. 6 шт.; 0 + 350·6 = 2100 ≤ 2100; следующая штука стоила бы 2450 > 2100.
10. 6 шт.; 0 + 155·6 = 930 ≤ 930; следующая штука стоила бы 1085 > 930.
11. 9 шт.; 180 + 110·9 = 1170 ≤ 1200; следующая штука стоила бы 1280 > 1200.
12. 9 шт.; 125 + 95·9 = 980 ≤ 980; следующая штука стоила бы 1075 > 980.
13. 7 шт.; 350 + 180·7 = 1610 ≤ 1700; следующая штука стоила бы 1790 > 1700.
14. 9 шт.; 200 + 125·9 = 1325 ≤ 1440; следующая штука стоила бы 1450 > 1440.
15. 12 шт.; 95 + 65·12 = 875 ≤ 875; следующая штука стоила бы 940 > 875.
16. 7 шт.; 380 + 250·7 = 2130 ≤ 2300; следующая штука стоила бы 2380 > 2300.
17. 7 шт.; 300 + 175·7 = 1525 ≤ 1650; следующая штука стоила бы 1700 > 1650.
18. 5 шт.; 80 + 115·5 = 655 ≤ 760; следующая штука стоила бы 770 > 760.
19. Да: полная стоимость 760 = 95 + 7·95; остаётся 20.
20. Да: полная стоимость 960 = 160 + 5·160; остаётся 290.
21. Да: полная стоимость 1710 = 190 + 8·190; остаётся 290.
22. Нет: полная стоимость 1540 = 220 + 6·220; не хватает 90.
23. Нет: полная стоимость 1200 = 120 + 9·120; не хватает 310.
24. Да: полная стоимость 1160 = 145 + 7·145; остаётся 460.

Как найти и исправить ошибку

Если ученик получил дробь 8,4 при подсчёте предметов, можно купить только 8 целых штук. Если получено 8,4 при вычислении минимально необходимого числа упаковок, округлять может потребоваться вверх: контекст определяет действие. Ещё одна ошибка — не включить фиксированный сбор в расходы. Третья — перепутать знак неравенства: «не более B» означает ≤, а «не менее B» означает ≥.

Для более сильных учеников предложите устно объяснить, почему бюджет 990 при цене 120 не позволяет купить девять единиц: 9·120 = 1080 > 990. Ученик должен называть и математическую модель, и смысл целочисленного ограничения. При проверке работы оцените отдельно составление неравенства, вычисление границы и пояснение ответа в контексте.

Учитель может организовать взаимопроверку в парах: один читает задачу и составляет неравенство, второй проверяет граничную покупку. Затем роли меняются. Такой подход обнаруживает неправильные округления без механического переписывания ответов.

Совет для печати: сначала распечатайте разделы с заданиями ученику; ответы и решения вынесены отдельно для учителя и самопроверки.