Проверь себя: внесение множителя под знак квадратного корня — математика, 8 класс

Рабочий лист рассчитан на два независимых варианта: можно распечатать только один или предложить варианты двум соседям по парте. Цель — внести множитель под знак квадратного корня, сохранив значение выражения и его знак. В конце дан ключ для учителя. Ученик сначала получает лист с заданиями, а проверяющий — нижнюю часть страницы.

Правило перед печатью

Если a ≥ 0 и b ≥ 0, то a√b = √(a²b). Число a перед корнем становится множителем a² под знаком корня. Пример: 3√5 = √(9 · 5) = √45. Проверка обратным действием: √45 = 3√5. Если a < 0, нельзя стереть минус: −3√5 = −√45, а не √45, ведь квадратный корень по определению неотрицателен.

При записи обязательно показывайте промежуточный квадрат множителя хотя бы в первых трёх примерах. Не путайте эту операцию с умножением коэффициента на подкоренное число: 4√3 нельзя превратить в √12, потому что 4√3 и √12 имеют разные квадраты. Для задания с отрицательным коэффициентом сначала поставьте знак «−» за скобками, затем внесите положительный множитель.

Вариант А. Заполни пропуски

Фамилия ___________________ Дата _____________ Сначала выполняй упражнения 1–6, затем 7–12 со знаками. В ответах оставляй один знак корня; обратно выносить множитель на этой стадии не нужно.

1. 2√3 = __________
2. 3√5 = __________
3. 4√2 = __________
4. 5√7 = __________
5. 6√3 = __________
6. 2√11 = __________
7. −2√5 = __________
8. −3√2 = __________
9. 7√3 = __________
10. −4√7 = __________
11. 5√6 = __________
12. −6√2 = __________

Вариант Б. Самостоятельная серия

Фамилия ___________________ Дата _____________ Здесь отрицательные коэффициенты чередуются с положительными, поэтому проверка знака важнее скорости. Вычислительная часть короткая, основное внимание уделяйте записи преобразования.

1. 3√11 = __________
2. 4√6 = __________
3. −5√3 = __________
4. 8√2 = __________
5. 2√13 = __________
6. −7√2 = __________
7. 6√5 = __________
8. 3√14 = __________
9. −2√17 = __________
10. 9√2 = __________
11. 4√15 = __________
12. −3√11 = __________

Проверка соседей по парте

Обменяйтесь листами после выполнения. Для любого примера с положительным множителем найдите квадрат числа перед корнем и умножьте на исходное подкоренное число. Полученное значение под корнем должно совпасть с ответом. Для отрицательного множителя проверьте, остался ли минус снаружи. Исправляйте не только конечный ответ, но и первую неверную строку.

Ответы для учителя: вариант А

1. 2√3 = √12; 2² · 3 = 12.
2. 3√5 = √45; 3² · 5 = 45.
3. 4√2 = √32; 4² · 2 = 32.
4. 5√7 = √175; 5² · 7 = 175.
5. 6√3 = √108; 6² · 3 = 108.
6. 2√11 = √44; 2² · 11 = 44.
7. −2√5 = −√20; 2² · 5 = 20, знак минус сохраняется снаружи.
8. −3√2 = −√18; 3² · 2 = 18, знак минус сохраняется снаружи.
9. 7√3 = √147; 7² · 3 = 147.
10. −4√7 = −√112; 4² · 7 = 112, знак минус сохраняется снаружи.
11. 5√6 = √150; 5² · 6 = 150.
12. −6√2 = −√72; 6² · 2 = 72, знак минус сохраняется снаружи.

Ответы для учителя: вариант Б

1. 3√11 = √99; 3² · 11 = 99.
2. 4√6 = √96; 4² · 6 = 96.
3. −5√3 = −√75; минус перед корнем, 5² · 3 = 75.
4. 8√2 = √128; 8² · 2 = 128.
5. 2√13 = √52; 2² · 13 = 52.
6. −7√2 = −√98; минус перед корнем, 7² · 2 = 98.
7. 6√5 = √180; 6² · 5 = 180.
8. 3√14 = √126; 3² · 14 = 126.
9. −2√17 = −√68; минус перед корнем, 2² · 17 = 68.
10. 9√2 = √162; 9² · 2 = 162.
11. 4√15 = √240; 4² · 15 = 240.
12. −3√11 = −√99; минус перед корнем, 3² · 11 = 99.

Оценивание и работа над ошибкой

В каждом варианте 12 заданий. За корректное подкоренное число поставьте 1 балл, за сохранение знака перед корнем — ещё 1 балл в примерах с отрицательным множителем. Если учащийся в выражении −2√5 написал √20, попросите оценить знак первоначального выражения: отрицательное число не может стать положительным в результате равносильного преобразования.

Расширение для сильных учеников: сравните записи 2√3 и √12, −2√3 и −√12, а также √12 и −√12. Только первая пара и вторая пара соответственно равны. Этот приём помогает понять, почему формула работает лишь с учётом знака. В материалах некоторых программ РФ и Казахстана порядок изучения преобразований корней может немного отличаться; при необходимости отберите положительные коэффициенты как базовый уровень.

Методическая памятка: три самостоятельных контроля

Контроль значения. Возьмём 4√2. После внесения четвёрки под корень получается √32. Если обратно вынести квадрат 16, снова выйдет 4√2. Это основной способ проверки, не требующий калькулятора. Для 5√6 аналогично получим √150 и обратно 5√6. Важно не останавливаться на строке √30: она появилась бы при ошибочном умножении 5 на 6 вместо возведения пятёрки в квадрат.

Контроль знака. Рассмотрим −4√7. По определению √7 > 0, поэтому исходное выражение отрицательно. Строка √112 положительна и сразу нарушает равенство, хотя квадрат подкоренного числа был выбран верно. Правильный ответ — −√112. Отрицательный знак не превращается в часть подкоренного числа, так как √((-4)² · 7) = √112 = 4√7, без минуса.

Контроль границ. В 2√11 корень √11 немного больше трёх и меньше четырёх, следовательно, всё выражение лежит между шестью и восемью. После преобразования получается √44, и оно также находится между √36 = 6 и √64 = 8. Такое сравнение границ не доказывает равенство, но позволяет быстро выявить грубую вычислительную ошибку.

Разбор наиболее частых неверных преобразований

Ошибка № 1: коэффициент не возведён в квадрат. Ученик пишет 3√5 = √15. Проверяем возведением в квадрат: слева получаем 9 · 5 = 45, справа 15. Значения различны, значит, равенство неверно. Правильная запись — √45. Попросите повторить этот же шаг с 2√3 и 6√3: коэффициенты должны превратиться в 4 и 36 соответственно.

Ошибка № 2: квадрат берут только у подкоренного числа. Например, из 2√3 получают √9. В исходном выражении квадрат равен 12, а у √9 квадрат равен 9. Исправление: √(2² · 3) = √12. Удобно всегда сначала оставить промежуточную запись с произведением, не торопясь умножать.

Ошибка № 3: теряют знак минус. Из −5√3 записывают √75. По модулю эти выражения действительно равны, но сами числа противоположны. Правильный результат — −√75. На уроке попросите ученика назвать знак каждого выражения до выполнения арифметики; если знаки разные, дальнейшая проверка не нужна.

Ошибка № 4: путают прямое и обратное преобразование. В упражнении на внесение множителя 3√2 следует записать как √18. Запись 3√2 — уже данное выражение, а √18 — результат преобразования. Если задача, наоборот, требовала вынести множитель, надо было бы исходить из √18 и получать 3√2. Проверяющий должен оценивать не только числовое равенство, но и исполнение указания.

Как организовать проверку двух вариантов

Дайте ученикам одинаковое время и разрешите пользоваться только черновиком. После завершения можно проверить три обязательных места: первое задание, первое задание с отрицательным коэффициентом и последнее задание варианта. Такой выбор даёт учителю информацию об основном алгоритме, понимании знака и устойчивости навыка к концу работы. Затем ученики сверяют остальные решения с ключом. Если ошибку допустили только в умножении, повторять определение квадратного корня не требуется: полезнее отдельная устная тренировка квадратов чисел от 2 до 9.

В некоторых учебниках сначала встречаются только положительные коэффициенты. Если класс ещё не изучил отрицательные множители перед корнем, задания с минусом можно отметить как дополнительные, а оценку выставлять только за положительные случаи. Сами ответы при этом остаются математически верными, и редактору материала не нужно менять условия или генерировать новую версию.

Почему знак нельзя спрятать под квадратный корень

При внесении множителя удобно различать исходный коэффициент и модуль коэффициента. Например, число −7 представляет собой −|−7|. Тогда −7√2 = −√(49 · 2) = −√98. Если попытаться заменить его единственным корнем √98, получится положительное число, то есть изменится значение выражения. В школьной записи не нужно вводить специальное обозначение модуля, если оно ещё непривычно: достаточно проговаривать «минус остаётся снаружи, семёрка возводится в квадрат».

Обратная проверка подтверждает знак: −√98 = −7√2, а √98 = 7√2. Это два противоположных числа, и ни одно нельзя подменять другим. Похожая ситуация встречается при раскрытии скобок: −(3√5) и (−3)√5 означают одно и то же отрицательное выражение. Поэтому пишите минус перед радикалом явно, даже когда вычисление под корнем кажется очевидным.

Три способа обсуждать правильный ответ

Для устного опроса можно предложить три эквивалентные записи: 6√3; √(36 · 3); √108. Первая — начальная форма, третья — результат внесения множителя, а вторая — обязательный поясняющий шаг. Попросите показать, какие числа преобразуются и почему произведение 36 · 3 имеет тот же корень, что 6√3. Это лучше простого заучивания формулы: ученик видит связку между квадратом и квадратным корнем.

Частый вопрос: можно ли вносить под корень ноль? Да, 0√5 = 0 = √0. Просто такие примеры обычно не тренируют сам алгоритм и потому не включены в два варианта. Можно ли работать с дробным положительным коэффициентом? Да, например (1/2)√8 = √((1/4) · 8) = √2. Эти случаи расширяют понимание, но в данной проверочной главным остаётся навык с целыми коэффициентами.

Рекомендуемый порядок проверки: сначала подпишите рядом с каждым выражением знак, затем отдельно проверьте квадрат коэффициента, только после этого — произведение под корнем. Если ответы правильные, но вычисления записаны только одной строкой, предложите выполнить два любых пункта с промежуточной записью: это показывает, что школьник понимает причину равенства, а не запомнил готовые значения.