Проверь себя: взаимно простые числа в карточках на проверку — математика, 6 класс

Небольшая диагностическая работа по теме «Взаимно простые числа» (6 класс). Здесь важнее найти ошибку в объяснении, чем быстро произнести «да» или «нет». Ключи расположены в самом конце, чтобы лист можно было сначала распечатать как самостоятельную карточку.

Ловушка, которую разбираем вместе

Ученик сказал: «16 и 25 взаимно простые, ведь 16 простое и 25 простое». Его вывод верен, но довод неверен: оба числа составные. Верное рассуждение такое: 16 = 2⁴, 25 = 5², общих простых множителей нет, следовательно их НОД равен 1. Взаимно простыми могут быть два составных числа; не нужно требовать, чтобы каждое из них было простым.

Запомните критерий: два натуральных числа взаимно просты тогда и только тогда, когда их НОД равен 1. Нельзя судить только по чётности, величине чисел или «непохожести» их цифр.

Карточка: исправляем рассуждения

Задания 1–10 выполняйте устно с короткой записью объяснения; задания 11–14 — письменно. Если вы говорите «да», обязательно объясните, почему общий делитель больше единицы невозможен.

1. Верно ли, что любые два нечётных числа взаимно просты? Рассмотрите числа 9 и 21.
2. Ученик заявил: «8 и 15 взаимно простые, потому что оба числа простые». Найдите ошибку в рассуждении и дайте верный вывод.
3. Проверьте пару 14 и 25: взаимно простые ли числа? Укажите НОД.
4. Для пары 21 и 35 запишите один общий делитель больше единицы.
5. Объясните, почему 1 и 36 являются взаимно простыми числами по определению.
6. Среди пар (16, 27), (18, 35), (15, 25) найдите все взаимно простые.
7. Найдите ошибку в фразе «соседние натуральные числа 24 и 25 имеют общий делитель 5».
8. Ученик вычислил НОД(20, 33) = 2. Проверьте результат и исправьте его.
9. В паре (27, 45) зачеркните неверное утверждение: «оба числа делятся на 9» или «их НОД равен 3».
10. Верно ли, что числа 32 и 81 взаимно просты? Проверьте по простым множителям.

Чистовая мини-карточка

11. Даны пары (14, 49), (15, 28), (22, 35). Отметьте только взаимно простые.
12. Заполните пропуск: если НОД(a, b) = □, то a и b взаимно простые.
13. Могут ли два составных числа быть взаимно простыми? Приведите пример из пары 8 и 9 с объяснением.
14. Выполните чистовую проверку: взаимно просты ли 48 и 55? Приведите два независимых обоснования.

После выполнения сравните свои решения с соседом. Не ставьте балл за слово «верно» без основания там, где требуется объяснение. Когда две записи отличаются, проверьте НОД разложением, а не голосованием.

Ключ для учителя и самостоятельной проверки

1. Нет: НОД(9, 21) = 3, так как оба делятся на 3. Нечётность ничего не гарантирует.
2. Вывод верный, объяснение неверное: 8 составное (2³), 15 составное (3 · 5), но общих простых множителей у них нет, НОД = 1.
3. Да; 14 = 2 · 7, 25 = 5², следовательно НОД = 1.
4. 7; числа 21 = 3 · 7 и 35 = 5 · 7, поэтому не взаимно простые.
5. Да: единственный положительный делитель числа 1 — единица, значит НОД(1, 36) = 1. По определению оба числа взаимно просты.
6. Взаимно простые пары (16, 27) и (18, 35). У (15, 25) общий делитель 5.
7. Число 24 не делится на 5. Вообще соседние натуральные числа взаимно просты: общий делитель делил бы и их разность 1.
8. НОД(20, 33) = 1: 20 = 2² · 5, 33 = 3 · 11; двойка не делит 33.
9. Неверно «НОД равен 3»: 27 = 3³, 45 = 3² · 5; НОД = 3² = 9. Оба действительно делятся на 9.
10. Да: 32 = 2⁵, 81 = 3⁴; общих простых множителей нет.
11. (15, 28) и (22, 35); 14 и 49 имеют общий множитель 7.
12. 1. Именно НОД = 1 задаёт взаимную простоту.
13. Да: 8 = 2³, 9 = 3², общих делителей больше единицы нет.
14. Да: 48 = 2⁴ · 3 и 55 = 5 · 11; общих простых множителей нет. Также проверка делителями 55: 5 и 11 не делят 48.

За каждый из 14 пунктов можно получить один балл. Оценка 12–14 баллов означает устойчивое понимание; 9–11 — повторите определение и пример с двумя составными числами; ниже 9 — вернитесь к поиску общих делителей. Типичная ошибка, которую стоит исправлять первой, — подмена понятия «взаимно простые» словами «два простых числа».