Проверка деления дробей обратным умножением в вычислении нескольких последовательных долей — мини-практикум с ответами, 6 класс

Мини-практикум с ответами, 6 класс. В этой работе известны две последовательные доли, но исходную величину иногда нужно восстановить с конца. Главная цель — не просто найти число делением, а подтвердить каждый шаг обратным умножением. Две части предназначены для печати как самостоятельные варианты: в первом восстановите исходное число, во втором проверьте ошибочный отчёт.

Памятка перед вариантами

Если от числа N взяли долю a, а от полученного — долю b, то итог R = N × a × b. Для движения назад найдём сначала P = R ÷ b, затем N = P ÷ a. При этом оба делителя a и b должны быть ненулевыми. Проверки выполняются в обратном порядке: P × b = R и N × a = P. Полезно не смешивать два действия в одно, чтобы увидеть возможную ошибку промежуточного результата.

Разбор: от неизвестного количества брали 3/4, затем 2/5 и получили 18. В обратном направлении: 18 ÷ (2/5) = 18 × (5/2) = 45, а 45 ÷ (3/4) = 45 × (4/3) = 60. Проверяем каждое деление умножением: 45 × 2/5 = 18; 60 × 3/4 = 45. Исходное количество 60. Одна проверка общего произведения 60 × 3/4 × 2/5 = 18 подтверждает весь расчёт, но две отдельные проверки помогают обнаруживать место ошибки.

Вариант А. Два деления и две обратные проверки

В таблице указаны первая доля a, вторая доля b и итог R. Восстановите промежуточное значение P и исходное число N. Для каждого из двух делений запишите проверку умножением. Доли берутся последовательно — сначала a от N, затем b от P.

Не подставляйте в ответ число N без промежуточной величины P: по условию проверяется именно каждое отдельное деление. Если получилось смешанное число, запишите его либо как неправильную дробь, либо как сумму целой и дробной частей, но в контрольном произведении используйте точное значение.

Вариант Б. Согласуется ли запись о первоначальном количестве с итогом?

Для каждого набора даны доли, итог R и якобы первоначальное количество N₀. Проверьте утверждение двумя обратными делениями с умножением. Если N₀ неверно, укажите точное исходное N. Номер задания в таблице продолжается с девятого.

Подробный ключ для учителя

Вариант А — задания 1–8

1. R ÷ b = 36 ÷ 3/4 = 48 (P), P ÷ a = 48 ÷ 2/3 = 72 (N). Проверки: 48 × 3/4 = 36; 72 × 2/3 = 48.
2. R ÷ b = 60 ÷ 5/6 = 72 (P), P ÷ a = 72 ÷ 4/5 = 90 (N). Проверки: 72 × 5/6 = 60; 90 × 4/5 = 72.
3. R ÷ b = 24 ÷ 2/3 = 36 (P), P ÷ a = 36 ÷ 3/7 = 84 (N). Проверки: 36 × 2/3 = 24; 84 × 3/7 = 36.
4. R ÷ b = 48 ÷ 4/5 = 60 (P), P ÷ a = 60 ÷ 5/8 = 96 (N). Проверки: 60 × 4/5 = 48; 96 × 5/8 = 60.
5. R ÷ b = 60 ÷ 5/7 = 84 (P), P ÷ a = 84 ÷ 7/10 = 120 (N). Проверки: 84 × 5/7 = 60; 120 × 7/10 = 84.
6. R ÷ b = 27 ÷ 3/8 = 72 (P), P ÷ a = 72 ÷ 2/3 = 108 (N). Проверки: 72 × 3/8 = 27; 108 × 2/3 = 72.
7. R ÷ b = 40 ÷ 5/6 = 48 (P), P ÷ a = 48 ÷ 3/4 = 64 (N). Проверки: 48 × 5/6 = 40; 64 × 3/4 = 48.
8. R ÷ b = 48 ÷ 3/5 = 80 (P), P ÷ a = 80 ÷ 5/9 = 144 (N). Проверки: 80 × 3/5 = 48; 144 × 5/9 = 80.

Вариант Б — задания 9–16

9. Рассчитаем назад: 15 ÷ 1/2 = 30, затем 30 ÷ 2/5 = 75. Проверки: 30 × 1/2 = 15 и 75 × 2/5 = 30. Записанное N₀ = 75 согласуется с итогом.
10. Рассчитаем назад: 40 ÷ 2/3 = 60, затем 60 ÷ 3/4 = 80. Проверки: 60 × 2/3 = 40 и 80 × 3/4 = 60. Записанное N₀ = 90 не согласуется; его нужно исправить на 80.
11. Рассчитаем назад: 24 ÷ 2/5 = 60, затем 60 ÷ 5/6 = 72. Проверки: 60 × 2/5 = 24 и 72 × 5/6 = 60. Записанное N₀ = 72 согласуется с итогом.
12. Рассчитаем назад: 30 ÷ 5/11 = 66, затем 66 ÷ 3/5 = 110. Проверки: 66 × 5/11 = 30 и 110 × 3/5 = 66. Записанное N₀ = 100 не согласуется; его нужно исправить на 110.
13. Рассчитаем назад: 48 ÷ 4/7 = 84, затем 84 ÷ 7/8 = 96. Проверки: 84 × 4/7 = 48 и 96 × 7/8 = 84. Записанное N₀ = 96 согласуется с итогом.
14. Рассчитаем назад: 42 ÷ 7/10 = 60, затем 60 ÷ 3/7 = 140. Проверки: 60 × 7/10 = 42 и 140 × 3/7 = 60. Записанное N₀ = 130 не согласуется; его нужно исправить на 140.
15. Рассчитаем назад: 60 ÷ 3/5 = 100, затем 100 ÷ 2/3 = 150. Проверки: 100 × 3/5 = 60 и 150 × 2/3 = 100. Записанное N₀ = 150 согласуется с итогом.
16. Рассчитаем назад: 30 ÷ 3/5 = 50, затем 50 ÷ 5/9 = 90. Проверки: 50 × 3/5 = 30 и 90 × 5/9 = 50. Записанное N₀ = 100 не согласуется; его нужно исправить на 90.

После проверки попробуйте выполнить одно задание снова, но сначала проверьте общий результат прямым умножением N × a × b. Если это произведение совпадает с R, оба способа согласованы. И всё же обратная проверка деления в этой карточке обязательна: из правильного общего итога нельзя понять, на каком шаге ученик допустил арифметическую ошибку, если не показаны промежуточные действия.

Частый неверный ход — делить R на произведение обратных дробей или забывать перевернуть именно делитель. Например, чтобы разделить 18 на 2/5, умножают 18 на 5/2, а не на 2/5; правильность равенства 18 ÷ 2/5 = 45 подтверждается произведением 45 × 2/5 = 18. Иногда ученики вместо двух проверок переставляют доли и считают, будто в задаче сначала взята доля b. Для конечного произведения порядок не меняет числа, но при поиске промежуточного P такая перестановка меняет смысл заданной строки.

Не округляйте промежуточные дроби: при обратном умножении погрешность может скрыть ошибку, особенно в условиях с результатом вида 33 1/3. Все значения здесь заданы точно. Если вы получили дробь, сначала сократите её, затем умножьте на делитель для окончательной проверки. Письменная проверка особенно важна, когда внешне похожие числа отличаются: в варианте Б неверное N₀ может случайно выглядеть разумно, но противоречит двум известным долям.