Проверка длины ломаной для фигуры с внутренним вырезом — диагностика ошибок, 5 класс

Диагностика для 5 класса: 16 задач с обратной проверкой. Мы обходим границу фигуры с прямоугольным вырезом. В отличие от обычного периметра прямоугольника здесь нужно пройти по двум боковым стенкам выреза и его внутреннему дну; игнорировать эти отрезки нельзя.

Разбираем базовый чертёж

Возьмите внешний прямоугольник шириной 18 см и высотой 11 см. На его верхней стороне между точками, отстоящими от левого края на 5 и 11 см, сделайте прямоугольный вырез 6 см в ширину и 4 см в глубину. Вырез открыт сверху: это углубление границы, а не отдельное замкнутое отверстие внутри листа. Обведите карандашом границу полученной фигуры.

Если бы выреза не было, длина границы равнялась бы 2 × (18 + 11) = 58 см. После выреза шесть сантиметров верхней кромки исчезли, зато появились шесть сантиметров дна: они друг друга заменяют. Добавились только две стенки глубиной по 4 см. Поэтому результат 58 + 8 = 66 см. Полезная контрольная запись: L = 2W + 2H + 2d.

Схему можно восстановить без рисунка. Начните в нижнем левом углу (0; 0), идите к (18; 0), затем к (18; 11), затем к (11; 11), далее вниз к (11; 7), влево к (5; 7), вверх к (5; 11), влево к (0; 11) и вниз к началу. Здесь восемь звеньев замкнутой ломаной; длина каждого измеряется в сантиметрах.

Измените условие и проверьте результат обратно

Пусть ширина выреза станет 3 см вместо 6 см, но глубина останется 4 см. Изменится ли общая длина ломаной? Нет: укороченная часть верхнего края и дно всё равно имеют одну длину; суммарно они компенсируют друг друга. А если глубину увеличить с 4 до 6 см, каждая боковая стенка удлинится на 2 см; вся граница увеличится на 4 см и составит 70 см.

Обратная проверка. Если известны ширина W, высота H и весь путь L, глубину можно восстановить: d = (L − 2W − 2H) / 2. Полученный ответ обязан быть положительным и меньше высоты H. При d ≥ H вырез прошёл бы через противоположную сторону, и исходная фигура перестала бы соответствовать условию.

Самостоятельная серия: вычисление, обратные задачи, изменения

В номерах 1–5 восстановите рисунок по тексту и вычислите длину; в номерах 6–9 ищите глубину по известной длине; в номерах 10–13 сравнивайте два состояния одной фигуры. Номера 14–16 проверяют, можете ли вы найти ошибку в готовом ответе.

1. Прямоугольник 14 × 9 см: от верхнего края внутрь сделан вырез шириной 4 см и глубиной 3 см. Его левая стенка находится на расстоянии 3 см от левого края. Найдите длину всей граничной ломаной, включая три внутренние стороны выреза.
2. Прямоугольник 20 × 8 см: от верхнего края внутрь сделан вырез шириной 5 см и глубиной 5 см. Его левая стенка находится на расстоянии 7 см от левого края. Найдите длину всей граничной ломаной, включая три внутренние стороны выреза.
3. Прямоугольник 17 × 12 см: от верхнего края внутрь сделан вырез шириной 7 см и глубиной 4 см. Его левая стенка находится на расстоянии 4 см от левого края. Найдите длину всей граничной ломаной, включая три внутренние стороны выреза.
4. Прямоугольник 24 × 10 см: от верхнего края внутрь сделан вырез шириной 6 см и глубиной 6 см. Его левая стенка находится на расстоянии 8 см от левого края. Найдите длину всей граничной ломаной, включая три внутренние стороны выреза.
5. Прямоугольник 19 × 15 см: от верхнего края внутрь сделан вырез шириной 4 см и глубиной 7 см. Его левая стенка находится на расстоянии 5 см от левого края. Найдите длину всей граничной ломаной, включая три внутренние стороны выреза.
6. Внешние размеры 21 × 12 см, измеренная длина обхода вырезанной фигуры — 74 см. Вырез прямоугольный и выходит на верхнюю сторону. Какова его глубина?
7. Внешние размеры 16 × 10 см, измеренная длина обхода вырезанной фигуры — 62 см. Вырез прямоугольный и выходит на верхнюю сторону. Какова его глубина?
8. Внешние размеры 27 × 13 см, измеренная длина обхода вырезанной фигуры — 94 см. Вырез прямоугольный и выходит на верхнюю сторону. Какова его глубина?
9. Внешние размеры 15 × 14 см, измеренная длина обхода вырезанной фигуры — 64 см. Вырез прямоугольный и выходит на верхнюю сторону. Какова его глубина?
10. Размеры внешнего прямоугольника 22 × 14 см. Глубину верхнего выреза изменили с 3 до 6 см, не изменяя его ширины. Вычислите первоначальную и новую длины границы; на сколько сантиметров они отличаются?
11. Размеры внешнего прямоугольника 13 × 16 см. Глубину верхнего выреза изменили с 5 до 2 см, не изменяя его ширины. Вычислите первоначальную и новую длины границы; на сколько сантиметров они отличаются?
12. Размеры внешнего прямоугольника 25 × 11 см. Глубину верхнего выреза изменили с 4 до 7 см, не изменяя его ширины. Вычислите первоначальную и новую длины границы; на сколько сантиметров они отличаются?
13. Размеры внешнего прямоугольника 18 × 13 см. Глубину верхнего выреза изменили с 6 до 3 см, не изменяя его ширины. Вычислите первоначальную и новую длины границы; на сколько сантиметров они отличаются?
14. Прямоугольник 16 × 12 см имеет один прямоугольный вырез глубиной 4 см, выходящий на верхнюю границу. Ученик получил 56 см. Проверьте число и объясните причину ошибки.
15. Прямоугольник 20 × 9 см имеет один прямоугольный вырез глубиной 3 см, выходящий на верхнюю границу. Ученик получил 70 см. Проверьте число и объясните причину ошибки.
16. Прямоугольник 15 × 8 см имеет один прямоугольный вырез глубиной 5 см, выходящий на верхнюю границу. Ученик получил 51 см. Проверьте число и объясните причину ошибки.

Полные решения и способы самопроверки

1. Две вертикальные стенки выреза дают добавку 2 × 3 = 6 см к периметру прямоугольника. L = 2 × (14 + 9) + 6 = 52 см.
2. Две вертикальные стенки выреза дают добавку 2 × 5 = 10 см к периметру прямоугольника. L = 2 × (20 + 8) + 10 = 66 см.
3. Две вертикальные стенки выреза дают добавку 2 × 4 = 8 см к периметру прямоугольника. L = 2 × (17 + 12) + 8 = 66 см.
4. Две вертикальные стенки выреза дают добавку 2 × 6 = 12 см к периметру прямоугольника. L = 2 × (24 + 10) + 12 = 80 см.
5. Две вертикальные стенки выреза дают добавку 2 × 7 = 14 см к периметру прямоугольника. L = 2 × (19 + 15) + 14 = 82 см.
6. Периметр без выреза 2 × (21 + 12) = 66 см; избыток 74 − 66 = 8 см создают две стенки выреза. Глубина 4 см.
7. Периметр без выреза 2 × (16 + 10) = 52 см; избыток 62 − 52 = 10 см создают две стенки выреза. Глубина 5 см.
8. Периметр без выреза 2 × (27 + 13) = 80 см; избыток 94 − 80 = 14 см создают две стенки выреза. Глубина 7 см.
9. Периметр без выреза 2 × (15 + 14) = 58 см; избыток 64 − 58 = 6 см создают две стенки выреза. Глубина 3 см.
10. До изменения: 78 см; после: 84 см. Разность 6 см, длина увеличилась; эффект равен удвоенному изменению глубины.
11. До изменения: 68 см; после: 62 см. Разность 6 см, длина уменьшилась; эффект равен удвоенному изменению глубины.
12. До изменения: 80 см; после: 86 см. Разность 6 см, длина увеличилась; эффект равен удвоенному изменению глубины.
13. До изменения: 74 см; после: 68 см. Разность 6 см, длина уменьшилась; эффект равен удвоенному изменению глубины.
14. Верная длина 2 × (16 + 12 + 4) = 64 см. Ученический ответ 56 см неверен: возможно, в расчёт не попали две вертикальные стенки выреза; объясните по схеме, почему добавляются именно две глубины.
15. Верная длина 2 × (20 + 9 + 3) = 64 см. Ученический ответ 70 см неверен: вероятно, добавили лишний участок; только по числу нельзя точно установить ход ошибки; объясните по схеме, почему добавляются именно две глубины.
16. Верная длина 2 × (15 + 8 + 5) = 56 см. Ученический ответ 51 см неверен: вероятно, ошиблись в счёте вертикальных отрезков; нужно восстановить их по чертежу; объясните по схеме, почему добавляются именно две глубины.

Что показывает обратная проверка

Проверяйте восстановленную глубину подстановкой в формулу. Например, если для внешнего прямоугольника 21 × 12 см нашли d = 4 см, полная граница должна быть 2 × (21 + 12 + 4) = 74 см. Если исходная длина отличается, в ходе обратного решения потерян множитель 2 или неправильно вычтен исходный периметр.

Различайте два объекта. Углубление, которое выходит к внешнему краю, меняет одну граничную ломаную. Полностью внутреннее прямоугольное отверстие образует дополнительную замкнутую границу; наша формула для открытого выреза к нему неприменима. На этой карточке рассматривается только один вырез, открытый со стороны верхнего края.

Если ученику трудно видеть, почему ширина не влияет на результат, полезно разложить верхнюю часть пути на три отрезка: до выреза, дно выреза, после выреза. Их суммарная горизонтальная длина всегда W. Остаётся внешний низ W, две внешние вертикали по H и две внутренние по d. Так формула получается из реального обхода, а не заучивается без понимания.