Проверка двойного счёта в задаче на сочетания: самостоятельная работа по математике, 9 класс

Углублённый практикум по сочетаниям, 9 класс. Задача на сочетания отличается от задачи на размещения тем, что порядок выбранных элементов несущественен. Например, набор книг {А, Б, В} — та же тройка, что {В, А, Б}. Если сначала посчитать все упорядоченные тройки из восьми разных книг, получится 8·7·6=336. Каждая неупорядоченная тройка встречается ровно 3!=6 раз, поэтому правильный ответ 336/6=56.

Но делить на 2! или 3! можно только если все выбранные элементы различны и каждый набор был пересчитан одно и то же число раз. При назначении разных должностей «председатель» и «секретарь» роли различаются — перестановка меняет результат, и делить нельзя.

Где возникает двойной счёт

Вычислите число способов выбрать k элементов из n различных без учёта порядка: C(n,k)=n!/(k!(n−k)!). Для пар это n(n−1)/2. Для троек обычно сначала выбирают первую, вторую и третью позицию, затем делят на 6, а не на 3. Для четвёрок делитель равен 24.

Два способа доказать один и тот же результат:

1. По формуле: из семи участников выбираем тройку: C(7,3)=7·6·5/(3·2·1)=35.
2. Проверкой повторов: при последовательном выборе получаем 210 записей, но каждая итоговая тройка встречается в шести порядках. 210/6=35.

Ловушка 1. Из шести человек выбирают капитана и заместителя. Ответ 6·5=30, а не 15: пара должностей упорядоченная. Ловушка 2. Из трёх красных и двух синих одинаковых внутри цвета жетонов выбирают две штуки. Нельзя бездумно использовать C(5,2)=10 для числа цветовых составов, потому что жетоны внутри цвета не различаются. Составы: КК, КС, СС — всего 3.

Уровень I. Убери повторения при выборе группы

Запишите упорядоченный промежуточный подсчёт и число его повторений для каждого набора. Первые десять заданий используют различимые объекты.

1. Выбирают 2 книги из 6 разных. Сколько наборов из двух книг?
2. Берут 3 билета из 5 разных. Вначале перечисляли порядок выбора. Сколько настоящих троек?
3. Для альбома выбирают 2 фотографии из 8, не задавая порядок. Сколько пар?
4. Выбирают 3 различных вида фруктов из 7. Сколько троек?
5. Из 6 кандидатов выбирают комитет из 4 равноправных членов. Сколько комитетов?
6. Из 10 названий выбирают 2 факультатива, порядок выбора неважен. Сколько пар?
7. Из 8 человек выбирают трёх для трёх разных мест в президиуме. Исправьте предложенный ответ C(8,3)=56.
8. Из 6 ребят выбирают капитана и заместителя. Исправьте предложенный ответ 6·5/2=15.
9. Из 9 картинок выбирают 2 для стенда, не различая левое и правое место. Сколько пар?
10. Из 9 результатов исследования выбирают 3 для обсуждения одновременно, без нумерации. Сколько троек?

Уровень II. Различай роли и группы

Перед применением факториала напишите одним предложением: «Перестановка выбранных предметов создаёт новый вариант» или «Не создаёт». Число вариантов записывайте без лишних нулей в промежуточных вычислениях.

1. Из 8 кандидатур выбирают 4 равноправных члена жюри. Сколько составов жюри?
2. Из 11 названий выбирают 2 для чтения в любом порядке. Сколько вариантов?
3. Из 6 цветов выбирают 3 разных цвета для общего набора. Сколько наборов?
4. Из 7 игр составляют коллекцию из 4 на выбор, порядок не учитывается. Сколько коллекций?
5. При составлении двухэлементной группы из 6 разных деталей ученик получил 6·5=30. На сколько раз он завысил число групп? Сколько их на самом деле?
6. Из 10 участников выбирают 3 в одну рабочую группу, роли внутри группы одинаковы. Сколько составов?
7. Из 7 точек, никакие две из которых не совпадают, выбирают пару концов отрезка. Сколько способов выбрать такую пару?
8. Из 4 различных образцов выбирают 3 для испытаний без порядка. Сколько наборов?

Уровень III. Ограничения и контрпримеры

Здесь одних формул недостаточно: нужно проверить, не убирает ли условие некоторые наборы и не превращает ли порядок в существенный признак. Для учащихся: покажите не только число, но и фразу, которая определяет, почему делить следует или не следует.

1. Из 8 различных карт выбирают две как один набор, но пара {А, Б} запрещена. Сколько допустимых наборов?
2. Из 6 учеников выбирают группу из 3. Один заранее указанный ученик обязательно должен входить в группу. Сколько вариантов?
3. Из 7 разных отметок назначают первое и второе место. Проверьте ответ 21: верен ли он? Сколько правильных результатов?
4. Из 5 разных карточек берут первую, затем вторую по порядку, не возвращая первую. Нужно ли делить 5·4 на два? Сколько последовательностей?

Развёрнутые ответы: объясни коэффициент повторения

Разбор пограничных случаев

Если повторения элементов разрешены. Формула C(n,k) уже не подходит автоматически. Выбор 2 мороженых из 3 вкусов, когда можно брать два одинаковых вкуса и порядок неважен, даёт 6 вариантов: три пары одинаковых вкусов и три пары разных. Это C(3+2−1,2)=C(4,2)=6. Такой пример не следует путать с задачей 1, где выбирают две разные книги.

Если объекты неразличимы. Нельзя считать варианты повторной перестановкой одинаковых предметов. Например, набор из красного и двух синих одинаковых жетонов при перестановке не становится новым набором. Формулы размещений и сочетаний требуют заранее определённой модели: что считается разным?

Контроль результата: ответ для выбора k предметов без порядка не может быть больше упорядоченного количества n·(n−1)·… . Если получился нецелый результат после деления, это сигнал: либо формула использована неправильно, либо ошибка в арифметике. Особенно важно сначала решить, имеют ли роли значение, и только затем выбирать формулу.

Почему при выборе четырёх делим именно на 24

Для набора из четырёх различных предметов можно сначала выбрать, какой предмет будет записан первым (4 возможности), затем вторым (3), третьим (2) и четвёртым (1). Все 4·3·2·1=24 записи соответствуют одному и тому же неупорядоченному набору. Так получается деление на 4!=24. Обратите внимание: делить на 24 необходимо лишь тогда, когда сначала посчитаны все упорядоченные четвёрки без повторений. В задаче о выборе четырёх участников с распределением четырёх разных должностей эти 24 записи обозначают 24 разные команды с ролями, поэтому результат не уменьшается.

Как быстро обнаружить ошибочный коэффициент? Проверяйте минимальный пример, где можно перечислить все наборы. Из трёх букв А, Б, В выбирают две без порядка: АБ, АВ, БВ — три пары, а 3·2=6 упорядоченных записей. Делитель равен 2. Из четырёх букв выбирают по три: АБВ, АБГ, АВГ, БВГ — четыре тройки, но 4·3·2=24 записи. Делитель уже 6. По аналогии число повторных записей каждой четвёрки равно 24, а не 4.