Проверка физического смысла корней прикладного уравнения — проверочная работа, 9 класс

Содержание статьи7 разделов

От алгебраического корня к допустимому ответу

У прикладной задачи всегда два этапа. Сначала решают уравнение и проверяют подстановкой все корни. Затем сравнивают результаты с условиями модели: длина и масса не могут быть отрицательными, время может иметь верхнюю границу, количество упаковок обычно целое, а положение относительно точки отсчёта может быть отрицательным. Один и тот же корень в разных задачах может оказаться допустимым или недопустимым.

Наблюдение → гипотеза → проверка

Предположим, модель допускает корни x=−3 и x=5. Для длины верёвки отрицательный корень не имеет физического смысла. Для координаты объекта на числовой оси оба числа могут быть разумными. Гипотеза: «лишний» корень определяется не знаком числа сам по себе, а смыслом величины и ограничениями исходной задачи.

Проверим гипотезу на примере (x−5)(x+3)=0: алгебраически оба числа обращают произведение в нуль. Однако при условии x>0 допустим лишь x=5. При условии −4≤x≤6 допустимы оба. Значит, ограничения надо записать до окончательного ответа.

Проверочная работа: физический смысл корней

В каждой строке нужно решить уравнение, проверить оба алгебраических корня и написать окончательный ответ с единицей. Указанные ограничения являются частью условия; нельзя менять их для удобства.

№ Смысл переменной и ограничения Уравнение
1 Длина детали, x > 0 см x2+3x−10=0
2 Время испытания, 0<t≤4 мин t2−7t+10=0
3 Число упаковок, n — натуральное и n>2 n2−5n+6=0
4 Расстояние, 0<d≤5 км d2−10d+21=0
5 Цена билета, p > 0 ₽ p2−4p=0
6 Скорость, v≥5 м/с v2−9v+20=0
7 Длина маршрута, 0<l≤8 км l2−13l+40=0
8 Ширина участка, w≥0 м w2−16=0
9 Время срабатывания, 0≤t≤5 с t2−11t+28=0
10 Смещение от нулевой отметки, −2≤x≤2 м x2−1=0
11 Масса груза, m>0 кг m2+2m−8=0
12 Время процесса, t≥0 с t2−6t+9=0
13 Количество рядов, r — целое, 2≤r≤7 r2−9r+18=0
14 Объём ёмкости, 0<V<6 л V2−7V+12=0
15 Время поездки, 0<t<3 ч t2−6t+8=0
16 Число ящиков, k — целое, k≥0 k2−2k−15=0

Ключ и объяснения допустимости

  1. Алгебраические корни: 2; −5. После проверки: 2 см; отрицательная длина невозможна.
  2. Алгебраические корни: 2; 5. После проверки: 2 мин; 5 мин превышает время испытания.
  3. Алгебраические корни: 2; 3. После проверки: 3 упаковки; n=2 нарушает строгий нижний предел.
  4. Алгебраические корни: 3; 7. После проверки: 3 км; 7 км выходит за предел 5 км.
  5. Алгебраические корни: 0; 4. После проверки: 4 ₽; модель исключает нулевую цену.
  6. Алгебраические корни: 4; 5. После проверки: 5 м/с; 4 м/с не достигает минимума.
  7. Алгебраические корни: 5; 8. После проверки: 5 и 8 км; оба корня удовлетворяют условиям, включая 8.
  8. Алгебраические корни: −4; 4. После проверки: 4 м; ширина неотрицательна.
  9. Алгебраические корни: 4; 7. После проверки: 4 с; 7 с не укладывается в окно.
  10. Алгебраические корни: −1; 1. После проверки: −1 и 1 м; отрицательная координата допустима.
  11. Алгебраические корни: −4; 2. После проверки: 2 кг; масса −4 кг невозможна.
  12. Алгебраические корни: 3 (двукратный). После проверки: 3 с: один допустимый числовой ответ, хотя корень кратный.
  13. Алгебраические корни: 3; 6. После проверки: 3 или 6 рядов; условие не позволяет выбрать только один.
  14. Алгебраические корни: 3; 4. После проверки: 3 или 4 л; оба лежат строго между 0 и 6.
  15. Алгебраические корни: 2; 4. После проверки: 2 ч; 4 ч больше допустимой продолжительности.
  16. Алгебраические корни: 5; −3. После проверки: 5 ящиков; отрицательное количество ящиков невозможно.

Как проверять себя

  • Отдельно запишите все алгебраические корни: иногда оба подходят, иногда ни один не подходит, иногда подходящий корень один.
  • Вычислите левую часть исходного уравнения для каждого числа; ограничения не заменяют математическую проверку.
  • Сравните результат с интервалом и типом величины. При строгих знаках < и > граничная точка не допускается.
  • Если искомая величина — число предметов, не принимайте дробные значения; если координата, отрицательное значение может быть осмысленным.
  • Напишите единицы в ответе, если задача задаёт физическую величину.

Вывод исследования

Математическое уравнение описывает возможные числа, но прикладная модель выбирает физически осмысленные из них. Недопустимый корень — не ошибка решения самого уравнения: это корень, исключаемый ограничениями задачи. Нельзя без объяснения вычёркивать отрицательные числа, если они обозначают, например, координаты, температуру по шкале Цельсия или изменения величин.

Разбор двух неоднозначных ответов

Когда допустимы оба корня? В №7 уравнение (l−5)(l−8)=0 имеет два положительных корня, 5 и 8. Если в условии разрешён отрезок (0;8], оба корня остаются, и ответ нельзя принудительно сокращать до одного числа. В №10 отрицательная координата −1 м также допустима: смещение считается от выбранного начала отсчёта, а не обозначает отрицательное количество материала.

Когда оба корня не означают два события? В №12 уравнение (t−3)2=0 имеет только один числовой корень 3. Кратность алгебраического корня не удваивает число возможных значений времени. Такой ответ записывают один раз, указывая единицу измерения.

Проверка подстановкой на примере №3: для n=2 получаем 4−10+6=0; для n=3 получаем 9−15+6=0. Оба числа решают уравнение, но только 3 удовлетворяет дополнительному требованию n>2. При проверке №16 x=−3 даёт 9+6−15=0, однако число ящиков не бывает отрицательным. Эта разница между алгебраической истинностью и смыслом особенно важна для прикладных задач.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым