Проверка физической допустимости корня в задаче о произведении последовательных чисел — задачи с решениями для 8 класса

Памятка: что означает отрицательный корень у произведения последовательных чисел

В задачах «на полке стоит n коробок, а на другой — на одну больше» величина n означает число целых предметов. Поэтому нужно n∈{0,1,2,…}, а если прямо сказано «обе полки непустые», то n≥1. При произведении P уравнение n(n+1)=P переписывается как n²+n−P=0. Если n=k — корень, другой корень всегда −k−1. Он тоже математический, но для подсчёта предметов недопустим.

Важно: в условии «два последовательных целых числа» без привязки к предметам отрицательные числа могут быть вполне допустимы. Например, −5 и −4 последовательны, их произведение 20, равно произведению 4 и 5. Только смысл количества или ограничение «положительные числа» позволяет отбросить отрицательную пару.

Вариант А — количество предметов и обратная проверка

1. Число рядов коробок на одном стенде — n, на другом на 1 больше. Произведение количеств равно 42. Найдите две последовательные величины и объясните, почему второй корень не описывает число предметов.
2. Число пачек карандашей на одном стенде — n, на другом на 1 больше. Произведение количеств равно 72. Найдите две последовательные величины и объясните, почему второй корень не описывает число предметов.
3. Число полок с книгами на одном стенде — n, на другом на 1 больше. Произведение количеств равно 110. Найдите две последовательные величины и объясните, почему второй корень не описывает число предметов.
4. Число лотков яиц на одном стенде — n, на другом на 1 больше. Произведение количеств равно 156. Найдите две последовательные величины и объясните, почему второй корень не описывает число предметов.
5. Число лотков открыток на одном стенде — n, на другом на 1 больше. Произведение количеств равно 210. Найдите две последовательные величины и объясните, почему второй корень не описывает число предметов.
6. Число упаковок мелков на одном стенде — n, на другом на 1 больше. Произведение количеств равно 272. Найдите две последовательные величины и объясните, почему второй корень не описывает число предметов.
7. Число картонных ячеек на одном стенде — n, на другом на 1 больше. Произведение количеств равно 90. Найдите две последовательные величины и объясните, почему второй корень не описывает число предметов.
8. Число мешочков пуговиц на одном стенде — n, на другом на 1 больше. Произведение количеств равно 132. Найдите две последовательные величины и объясните, почему второй корень не описывает число предметов.
9. Число полос бумаги на одном стенде — n, на другом на 1 больше. Произведение количеств равно 342. Найдите две последовательные величины и объясните, почему второй корень не описывает число предметов.

Вариант Б — проверьте условие, а не только уравнение

1. Два последовательных целых числа имеют произведение 30. Укажите все пары с учётом отрицательных.
2. Два последовательных натуральных числа имеют произведение 56. Какая пара?
3. Произведение двух последовательных неотрицательных целых равно 0. Сколько коробок могло быть в первом ряду?
4. Две непустые группы содержат n и n+1 предметов. Их произведение 0. Есть ли физическое решение?
5. Могут ли две последовательные целые численности групп иметь произведение 45?
6. Продавец утверждает, что n и n+1 коробок дали произведение 132 и n=−12. Проверьте.
7. Соседние целые числа −9 и −8 дают произведение 72. Можно ли использовать эту пару в задаче о количестве тетрадей?
8. У двух последовательных положительных чисел произведение 210. Найдите их.
9. Ученик заявил: «если P чётное, у задачи обязательно есть решение натуральными числами». Опровергните.

Подробные решения — вариант А

1. n(n+1)=42: корни 6 и -7. Допустимо 6 и 7; проверка 6·7=42. Отрицательный корень нельзя использовать как число предметов.
2. n(n+1)=72: корни 8 и -9. Допустимо 8 и 9; проверка 8·9=72. Отрицательный корень нельзя использовать как число предметов.
3. n(n+1)=110: корни 10 и -11. Допустимо 10 и 11; проверка 10·11=110. Отрицательный корень нельзя использовать как число предметов.
4. n(n+1)=156: корни 12 и -13. Допустимо 12 и 13; проверка 12·13=156. Отрицательный корень нельзя использовать как число предметов.
5. n(n+1)=210: корни 14 и -15. Допустимо 14 и 15; проверка 14·15=210. Отрицательный корень нельзя использовать как число предметов.
6. n(n+1)=272: корни 16 и -17. Допустимо 16 и 17; проверка 16·17=272. Отрицательный корень нельзя использовать как число предметов.
7. n(n+1)=90: корни 9 и -10. Допустимо 9 и 10; проверка 9·10=90. Отрицательный корень нельзя использовать как число предметов.
8. n(n+1)=132: корни 11 и -12. Допустимо 11 и 12; проверка 11·12=132. Отрицательный корень нельзя использовать как число предметов.
9. n(n+1)=342: корни 18 и -19. Допустимо 18 и 19; проверка 18·19=342. Отрицательный корень нельзя использовать как число предметов.

Ключ для учителя — вариант Б

1. Решение n(n+1)=30 даёт n=5 и −6, поэтому пары (5,6) и (−6,−5) обе допустимы.
2. n=7 или −8; только 7 и 8 натуральны. Проверка: 7·8=56.
3. n(n+1)=0: n=0 или −1. При разрешённом нуле допустимо n=0, второй ряд имеет 1 коробку.
4. Нет. Алгебраически n=0 или −1, однако n≥1, а тогда произведение больше нуля.
5. Нет: n²+n−45=0; 4·5=20, 6·7=42, 7·8=56; ни одно не равно 45. Уравнение не имеет целых корней.
6. n(n+1)=132: n=11 или −12. Число −12 — алгебраический корень, но физически допустимы 11 и 12 коробок.
7. Как целые числа — да; в задаче о количестве предметов — нет, нужны 8 и 9 тетрадей.
8. n=14 или −15; допустимы 14 и 15, так как 14·15=210.
9. Контрпример P=14: ни одна пара соседних натуральных чисел не имеет произведение 14 (3·4=12, 4·5=20). Чётность P необходима, но недостаточна.

Как выявить типичное неверное рассуждение

«Второй корень всегда отрицательный, значит он всегда лишний» — неверное универсальное утверждение. Это верно только при дополнительном ограничении на n, например, n — число коробок. Для последовательных целых чисел отрицательные значения возможны. Ещё одна типичная ошибка — считать любое чётное P произведением соседних чисел; условие кратности двум не заменяет решения квадратного уравнения и проверки целочисленности.

В взаимной проверке сначала выделите, чем является n: длиной, числом предметов или просто целым числом. Затем покажите оба корня и только после этого выпишите ответ к исходной задаче. Избегайте формулировки «корень −6 неправильный»: он правильный для уравнения n(n+1)=30, но недопустим для положительного количества.