Проверка интервала монотонности для функции с параметром в коэффициенте — упражнения разной сложности, 11 класс

Математика · 11 класс · MATH-1862

Учебная цель: проверять интервалы монотонности при изменении параметра в коэффициенте, корректно разбирая нулевой и отрицательный параметр.

Таблица параметров: сначала найдите границу смены знака

Коэффициент с параметром может менять не только положение критических точек, но и число этих точек. Поэтому нельзя решать уравнение f′=0, автоматически извлекать квадратный корень и забывать случаи, когда выражение под корнем отрицательно либо коэффициент при старшей степени равен нулю.

Основная модель — fₐ(x)=x³/3−ax, где a — действительное число. Производная равна x²−a. Если a>0, она имеет два корня ±√a; если a=0, единственный нуль 0 не меняет знака; если a<0, производная везде положительна. Значит при a≤0 функция строго возрастает на всей прямой, а при a>0 на участке между двумя корнями строго убывает.

Другая модель — gₐ(x)=ax²−4x, её производная 2ax−4. Если a=0, это линейная функция, убывающая на всей прямой. Если a>0, производная меняет знак «−» на «+» при x=2/a; если a<0 — наоборот. В отличие от кубической модели здесь возможен один экстремум, и его тип зависит от знака a.

Задания: проверка строки таблицы, вычисления и контрпримеры

1. fₐ(x)=x³/3−ax, a=4. Назовите два интервала возрастания.
2. Для той же функции a=4 проверьте (−2;2): какое направление?
3. fₐ(x)=x³/3−ax, a=0. Строго ли возрастает f на всей R?
4. fₐ(x)=x³/3−ax, a=−5. Сколько стационарных точек?
5. fₐ(x)=x³/3−ax, a=9. Найдите убывание.
6. fₐ(x)=x³/3−ax, a>0. Запишите границы убывания через a.
7. gₐ(x)=ax²−4x, a=2. Когда возрастает?
8. gₐ(x)=ax²−4x, a=−1. Когда возрастает?
9. gₐ(x)=ax²−4x, a=0. Обязательно ли имеется экстремум?
10. gₐ(x)=ax²−4x, a>0. Найдите границу смены направления.
11. gₐ(x)=ax²−4x, a<0. Как меняется порядок направлений?
12. hₐ(x)=(a−2)x³/3−3x, a=3. Найдите интервал убывания.
13. hₐ(x)=(a−2)x³/3−3x, a=2. Возможны ли два экстремума?
14. hₐ(x)=(a−2)x³/3−3x, a=5. Где убывает?
15. При каких a у hₐ(x)=(a−2)x³/3−3x существуют две точки экстремума?
16. У fₐ(x)=x³/3−ax a=0, а ученик требует строго f′>0 в каждой точке для возрастания. Найдите ошибку.

Подробный ключ и исправление противоречий

1. f′=x²−4, нули −2 и 2; возрастает на (−∞;−2) и (2;+∞).
2. Убывание: f′=x²−4<0 между корнями.
3. Да: f=x³/3. Производная x²≥0, нуль только при 0; само выражение строго возрастает на R.
4. Ноль: f′=x²+5>0 для всех x. Функция строго возрастает.
5. (−3;3): x²−9<0 только между −3 и 3.
6. (−√a;√a), так как производная x²−a отрицательна ровно при |x|<√a.
7. g′=4x−4, возрастает на (1;+∞), убывает на (−∞;1).
8. g′=−2x−4>0 при x<−2. Возрастает (−∞;−2), убывает (−2;+∞).
9. Нет: g=−4x, строго убывает на R, производная постоянно −4.
10. x=2/a. До неё g′<0, после >0: сначала убывает, затем возрастает.
11. Точка x=2/a; до неё g′>0, после <0: сначала возрастает, затем убывает.
12. h′=x²−3; убывает (−√3;√3), возрастает вне этого интервала.
13. Нет: h′=−3<0, функция строго убывает на R.
14. h′=3x²−3<0 при −1<x<1, так что убывает на (−1;1).
15. При a>2. Тогда h′=(a−2)x²−3 имеет два простых корня ±√(3/(a−2)) со сменой знака.
16. Это достаточный, но не необходимый критерий. x³/3 строго возрастает при f′(0)=0; одиночный нуль не отменяет возрастания.

Для hₐ(x)=(a−2)x³/3−3x порог равен двум, а не нулю: именно при a=2 исчезает кубический член. Если a<2, производная (a−2)x²−3 всюду отрицательна; при a=2 она тоже отрицательна; два действительных нуля производной возможны только при a>2. Это полезная контрольная проверка, потому что выражение √(3/(a−2)) не имеет действительного значения при a≤2.

Небольшая проверка разумности: выберите число x=0 внутри центрального промежутка и большое положительное число вне его. Подставьте в производную. Полученные знаки должны соответствовать таблице. Если знаки не совпали, проверьте, не забыли ли отрицательный параметр или изменение направления неравенства при делении на него.

Важно различать «производная положительна всюду» и «функция строго возрастает»: у x³/3 производная равна нулю при x=0, но все значения при x₁<x₂ всё равно возрастают. Поэтому исследование критических точек — проверка поведения на промежутках, а не только список корней уравнения.

От заданного интервала обратно к значению параметра

Встречается обратный вопрос: «При каких a функция fₐ(x)=x³/3−ax возрастает на всём интервале (−∞;−2)?» Для каждого x<−2 имеем x²>4. Чтобы производная x²−a оставалась положительной на всём этом интервале, необходимо и достаточно a≤4. Если a=4, в точке −2 производная равна нулю, но сама точка не принадлежит указанному интервалу. Если a>4, можно взять x между −√a и −2: там x²<a, то есть производная отрицательна, и желаемое свойство нарушается.

Похожая проверка для утверждения «fₐ строго убывает на (−1;1)» даёт a≥1. Действительно, на этом интервале x²<1. При a=1 производная x²−1 строго отрицательна на всём открытом промежутке. При a>1 она тем более отрицательна. Если же a<1, найдутся значения x внутри (−1;1), для которых x²>a, и производная окажется положительной. При отрицательном a функция и вовсе возрастает всюду.

Проверка граничных значений без деления на ноль

В модели gₐ(x)=ax²−4x нельзя писать 2/a до отдельной проверки a=0. Если a=0, производная постоянна и не меняет знак: никакой вершины параболы в обычном смысле уже нет, поскольку квадратичная функция превратилась в линейную. Если a положительно, граница 2/a положительна; если a отрицательно, она отрицательна. Ученики нередко упускают это и по привычке записывают «убывает слева, возрастает справа» для любого a. Таблица знаков показывает, что при a<0 картина противоположная.

Для третьей модели hₐ(x)=(a−2)x³/3−3x проверьте простой частный случай a=1: h′=−x²−3<0, поэтому никакого корня нет. При a=5 получаем h′=3x²−3 и критические точки ±1. Такую проверку частными значениями полезно делать после решения неравенства с параметром: она выявляет случаи, когда при делении на выражение, зависящее от a, ошибочно не поменяли знак неравенства.

Отличайте проверку отдельного значения от решения для всех параметров

Если при a=9 у функции fₐ(x)=x³/3−ax убывание происходит на (−3;3), из одного примера нельзя заключать, что такой интервал действует при всех a. При a=1 убывание ограничено (−1;1), а при a=−1 исчезает вовсе. Общая запись через ±√a допустима лишь в случае a>0. Это показывает, почему в ответе с параметром нужно явно назвать диапазон a, а не подставить первое удачное число.

Итоговый алгоритм из четырёх операций: выпишите производную, выделите значения параметра, при которых меняется её структура, найдите корни производной только для допустимых случаев, а затем расставьте знаки на соответствующих промежутках. Проверка случая a=0 особенно важна, когда исчезает старший коэффициент и уравнение производной меняет степень.