Проверка интервала монотонности по таблице знаков: тренажёр для 11 класса

Математика · 11 класс · MATH-1861

Учебная цель: проверять конкретный заявленный интервал по готовой таблице знаков f′, не заменяя проверку общими сведениями о производной.

Мини-тест: читайте таблицы, а не угадывайте форму графика

Условие для таблиц A, B, D и E: функция непрерывна и дифференцируема на всей вещественной прямой; в остальных случаях область определения указана отдельно. Каждый вопрос оценивается в один балл. Пишите не только «да» или «нет», но и одну причину — знак производной или недопустимость точки.

Двенадцать разнотипных вопросов

1. Таблица A: f′ имеет знаки «+ | 0 при −2 | − | 0 при 3 | +». Верно ли, что f возрастает на (−∞;−2)?
2. По таблице A проверьте фразу «f убывает на (−2;3)».
3. По таблице A можно ли назвать (0;4) интервалом убывания?
4. По таблице A определите тип экстремума при x=−2.
5. По таблице A определите тип экстремума при x=3.
6. Таблица B: f′ имеет знаки «− | 0 при 1 | −». Есть ли экстремум при x=1?
7. По таблице B можно ли считать интервал (−4;5) интервалом строгого убывания?
8. Таблица C: f′ положительна слева от 0 и справа от 0, но x=0 исключён из области. Можно ли назвать (−1;1) интервалом возрастания?
9. Таблица D: f′ знаки «− | 0 при −1 | + | 0 при 2 | −». Назовите интервал возрастания.
10. По таблице D какой экстремум расположен при x=2?
11. Таблица E: f′=0 на целом (0;2), а вне этого интервала положительна. Строго ли f возрастает на (0;2)?
12. Таблица A: является ли (−2;3) максимальным интервалом возрастания?

Быстрый ключ с пояснениями

1. Да. На всём указанном промежутке f′>0.
2. Верно: на всём интервале f′<0.
3. Нет. После x=3 знак производной положителен.
4. Локальный максимум: знак меняется с «+» на «−».
5. Локальный минимум: знак меняется с «−» на «+».
6. Нет. Знак не меняется: функция убывает с обеих сторон; нуль f′ не обязательно экстремум.
7. Да, если f непрерывна и дифференцируема на всём интервале и производная отрицательна вне отдельной точки 1; в данной таблице это условие задано.
8. Нет. В точке 0 функция не определена, так что (−1;1) не является интервалом её определения.
9. (−1;2): только там производная строго положительна.
10. Максимум, так как f′ переходит от положительных значений к отрицательным.
11. Нет. Если f дифференцируема и f′=0 на всём интервале, то она постоянна на (0;2).
12. Нет. Это максимальный интервал убывания; для возрастания указаны внешние части.

Оценивание

10–12 баллов — вы уверенно проверяете заявленные промежутки; 7–9 — повторите переход через нуль производной; 0–6 — начните с чтения знаков отдельно на каждом интервале. Ошибки в заданиях 6 и 7 означают путаницу между стационарной точкой и экстремумом. Ошибки в заданиях 8 и 11 — между областью определения и таблицей знаков.

Таблица знаков — это краткая запись доказательства, но она не восстанавливает значение функции. По знакам можно установить направления монотонности; численные значения локальных максимумов и минимумов без исходной функции или дополнительных данных обычно определить нельзя. Если точка x исключена из области, ни нуль производной, ни красивое соединение на рисунке не возвращают её в график.