Проверка коллинеарности векторов для диагоналей параллелограмма: тренажёр для 9 класса

Класс: 9. Тема: Диагонали невырожденного параллелограмма и проверка коллинеарности

Может ли диагональ параллелограмма совпадать по направлению с другой диагональю?

Утверждение «диагонали параллелограмма коллинеарны, ведь пересекаются в общей середине» неверно. Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых; само пересечение ничего такого не гарантирует. У настоящего параллелограмма ненулевая площадь, поэтому соседние стороны не лежат на одной прямой. Это и запрещает коллинеарность двух диагоналей.

Доказательство через координаты

Обозначим соседние векторы сторон u = AB, v = AD. Тогда AC = u + v, а BD = v − u. Определитель пары диагоналей равен det(u + v, v − u) = 2det(u, v). У невырожденного параллелограмма det(u, v) ≠ 0, следовательно, det(AC, BD) ≠ 0. Равенство нулю возможно лишь в вырожденном случае, когда площадь фигуры равна нулю. При этом «диагонали» теряют обычный геометрический смысл.

Таблица для первичной проверки

В первых трёх строках задана вершина A и два вектора сторон. Восстановите C = A + u + v и проверьте знак определителя диагоналей. Нельзя решить этот вопрос только по равенству длин или по серединам диагоналей.

Для всех трёх строк получите явный результат, а затем используйте тот же алгоритм для нестандартных координат ниже. Запись det(p, q) = pₓqᵧ − pᵧqₓ помогает избежать ошибок со знаками.

Практикум: от координат к строгому выводу

Всего 13 заданий. Сначала вычисляйте определитель сторон (это удвоенная ориентированная площадь в координатах), затем — определитель диагоналей. Проверьте, совпадает ли последний с удвоенным первым.

1. Восстановите C и выясните, коллинеарны ли AC и BD. Дано: A(0; 0), AB = (3; 1), AD = (1; 4).
2. Найдите определитель направляющих векторов обеих диагоналей и сделайте вывод. Дано: A(2; -1), AB = (4; 0), AD = (1; 3).
3. Проверьте рассуждение «диагонали имеют одну середину, значит коллинеарны». Дано: A(-3; 2), AB = (2; 3), AD = (4; -1).
4. Восстановите C и выясните, коллинеарны ли AC и BD. Дано: A(1; 1), AB = (5; 2), AD = (2; 5).
5. Найдите определитель направляющих векторов обеих диагоналей и сделайте вывод. Дано: A(-2; -3), AB = (4; -2), AD = (1; 5).
6. Проверьте рассуждение «диагонали имеют одну середину, значит коллинеарны». Дано: A(3; 0), AB = (-2; 4), AD = (5; 1).
7. Восстановите C и выясните, коллинеарны ли AC и BD. Дано: A(0; 3), AB = (6; -1), AD = (2; 2).
8. Найдите определитель направляющих векторов обеих диагоналей и сделайте вывод. Дано: A(4; -2), AB = (1; 5), AD = (-3; 2).
9. Проверьте рассуждение «диагонали имеют одну середину, значит коллинеарны». Дано: A(1; -4), AB = (3; 3), AD = (-2; 5).
10. Стороны представлены векторами u = (2; 3), v = (4; 6). Получится ли настоящий параллелограмм с двумя различными направлениями сторон?
11. В параллелограмме одна диагональ имеет вектор (4; 6), другая — (−2; −3). Обнаружьте скрытое противоречие.
12. Даны AC = (5; −2) и BD = (2; 5). Докажите, что эти два вектора могут задавать диагонали невырожденного параллелограмма.
13. У прямоугольника диагонали пересекаются под углом, не равным 90°. Можно ли всё равно утверждать, что они не коллинеарны?

Развёрнутые решения и ключ

При вычислениях важно не перепутать BD с DB: знак определителя изменится, но условие «равен нулю или нет» останется тем же. Каждое решение даёт не только ответ, но и основание.

1. C(4; 5). AC = (4; 5), BD = (-2; 3); det(AC, BD) = 22. Определитель не равен нулю: диагонали не коллинеарны, хотя делятся точкой пересечения пополам.
2. C(7; 2). AC = (5; 3), BD = (-3; 3); det(AC, BD) = 24. Определитель не равен нулю: диагонали не коллинеарны, хотя делятся точкой пересечения пополам.
3. C(3; 4). AC = (6; 2), BD = (2; -4); det(AC, BD) = -28. Определитель не равен нулю: диагонали не коллинеарны, хотя делятся точкой пересечения пополам.
4. C(8; 8). AC = (7; 7), BD = (-3; 3); det(AC, BD) = 42. Определитель не равен нулю: диагонали не коллинеарны, хотя делятся точкой пересечения пополам.
5. C(3; 0). AC = (5; 3), BD = (-3; 7); det(AC, BD) = 44. Определитель не равен нулю: диагонали не коллинеарны, хотя делятся точкой пересечения пополам.
6. C(6; 5). AC = (3; 5), BD = (7; -3); det(AC, BD) = -44. Определитель не равен нулю: диагонали не коллинеарны, хотя делятся точкой пересечения пополам.
7. C(8; 4). AC = (8; 1), BD = (-4; 3); det(AC, BD) = 28. Определитель не равен нулю: диагонали не коллинеарны, хотя делятся точкой пересечения пополам.
8. C(2; 5). AC = (-2; 7), BD = (-4; -3); det(AC, BD) = 34. Определитель не равен нулю: диагонали не коллинеарны, хотя делятся точкой пересечения пополам.
9. C(2; 4). AC = (1; 8), BD = (-5; 2); det(AC, BD) = 42. Определитель не равен нулю: диагонали не коллинеарны, хотя делятся точкой пересечения пополам.
10. Нет: det(u, v) = 2·6 − 3·4 = 0. Фигура вырождается в отрезок или линию; этот пример нельзя использовать для вывода о диагоналях обычного параллелограмма.
11. Определитель равен 4·(−3) − 6·(−2) = 0. Два вектора коллинеарны, значит четыре точки не образуют невырожденный параллелограмм с такими диагоналями.
12. det(AC, BD) = 5·5 − (−2)·2 = 29 ≠ 0. Из двух некoллинеарных диагоналей с общей серединой строится параллелограмм; здесь препятствия нет.
13. Да. Для ненулевой площади достаточно, что диагонали не лежат на одной прямой: углу между ними вовсе не обязательно быть прямым.

Особые случаи и методическая проверка

Если один вектор стороны нулевой или обе стороны пропорциональны, получаются совпадающие либо лежащие на одной прямой точки — это не параллелограмм с положительной площадью. Нельзя переносить на него теоремы без проверки невырожденности. Ещё одна частая ошибка: считать, что отрезки, имеющие одну общую точку, автоматически параллельны. Пересечение в серединах подтверждает свойство диагоналей параллелограмма, но не их коллинеарность.

Почему пересечение в серединах не является проверкой

Возьмём соседние стороны u = (3; 1), v = (1; 4). Тогда диагонали имеют направления (4; 5) и (−2; 3). Их определитель равен 4·3 − 5·(−2) = 22. С другой стороны det(u, v) = 3·4 − 1·1 = 11, то есть требуемое удвоение подтверждается. Середина AC совпадёт с серединой BD, но коэффициента, переводящего (4; 5) в (−2; 3), не существует. Параллелограмм может быть вытянутым, наклонным или прямоугольным — результат сохраняется при ненулевой площади. Диагонали пересекаются, но не становятся параллельными от этого свойства.

Как проверить себя

Пересчитайте отдельно det(AB, AD) и det(AC, BD). Для невырожденного параллелограмма второе значение точно вдвое больше первого и не равно нулю. Если получили ноль, ищите ошибку в координатах либо вырождение фигуры.