Проверка коллинеарности векторов для противоположно направленных векторов — карточки с ответами, 9 класс

Исследование: одинаковая прямая — не всегда одинаковое направление

Рассмотрите ненулевые векторы a=(2; −3) и b=(−6; 9). Заметим, что b=−3a: каждый компонент изменился с одним и тем же отрицательным множителем. Значит, векторы коллинеарны и противоположно направлены. Сравнение только модулей компонент не объясняет направление; решающим оказывается знак общего множителя.

Поменяем b на c=(6; −9)=3a. Длина c та же, что у b, и обе пары коллинеарны, но a и c сонаправлены. А вектор d=(−6; 8) не коллинеарен a: отношения координат 2/(−6) и (−3)/8 различаются. Так мы получаем одновременно пример, контрпример и критерий.

Сформулируйте и проверьте правило

Для двух ненулевых векторов a=(aₓ; aᵧ), b=(bₓ; bᵧ) коллинеарность эквивалентна равенству aₓbᵧ−aᵧbₓ=0. Оно не требует деления и работает, даже если одна из координат равна нулю.

После подтверждения коллинеарности определите направление по скалярному произведению a·b=aₓbₓ+aᵧbᵧ. Для ненулевых коллинеарных векторов отрицательное скалярное произведение означает противоположное направление, положительное — одинаковое. Если произведение равно нулю, проверьте, не является ли один из векторов нулевым: для двух ненулевых коллинеарных векторов этот случай невозможен.

Доказательство через множитель: если b=ta и a≠0, то a·b=t|a|². Поскольку |a|²>0, знак a·b совпадает со знаком t. Значит, для противоположного направления необходимо и достаточно t<0. По одному лишь детерминанту нельзя отличить t>0 от t<0.

Карточки-наблюдения: выдвиньте гипотезу

1. a=(3; 4), b=(-6; -8). Найдите детерминант и скалярное произведение; исследуйте знак общего множителя.
2. a=(-2; 5), b=(4; -10). Найдите детерминант и скалярное произведение; проверьте критерий и направление.
3. a=(0; -7), b=(0; 21). Найдите детерминант и скалярное произведение; можно ли делить первые компоненты?.
4. a=(5; 0), b=(-15; 0). Найдите детерминант и скалярное произведение; определите направление без рисунка.

Проверка на контрпримере и новых данных

5. a=(3; -2), b=(9; -6). Установите: коллинеарны ли они; если оба ненулевые и коллинеарны, противоположно ли направлены? Обоснуйте численно.
6. a=(-4; -1), b=(8; 2). Установите: коллинеарны ли они; если оба ненулевые и коллинеарны, противоположно ли направлены? Обоснуйте численно.
7. a=(1; 6), b=(-2; -12). Установите: коллинеарны ли они; если оба ненулевые и коллинеарны, противоположно ли направлены? Обоснуйте численно.
8. a=(2; 5), b=(-5; 2). Установите: коллинеарны ли они; если оба ненулевые и коллинеарны, противоположно ли направлены? Обоснуйте численно.
9. a=(-3; 4), b=(6; -8). Установите: коллинеарны ли они; если оба ненулевые и коллинеарны, противоположно ли направлены? Обоснуйте численно.
10. a=(0; 3), b=(1; 0). Установите: коллинеарны ли они; если оба ненулевые и коллинеарны, противоположно ли направлены? Обоснуйте численно.
11. a=(7; -7), b=(-14; 14). Установите: коллинеарны ли они; если оба ненулевые и коллинеарны, противоположно ли направлены? Обоснуйте численно.
12. a=(4; 1), b=(0; -1). Установите: коллинеарны ли они; если оба ненулевые и коллинеарны, противоположно ли направлены? Обоснуйте численно.
13. a=(-2; 0), b=(6; 0). Установите: коллинеарны ли они; если оба ненулевые и коллинеарны, противоположно ли направлены? Обоснуйте численно.
14. a=(1; 1), b=(0; 0). Установите: коллинеарны ли они; если оба ненулевые и коллинеарны, противоположно ли направлены? Обоснуйте численно.

Ответы и комментарии к спорным случаям

• 1. det=0, a·b=-50. Векторы коллинеарны и противоположно направлены.
• 2. det=0, a·b=-58. Векторы коллинеарны и противоположно направлены.
• 3. det=0, a·b=-147. Векторы коллинеарны и противоположно направлены.
• 4. det=0, a·b=-75. Векторы коллинеарны и противоположно направлены.
• 5. det=0, a·b=39: коллинеарны, но сонаправлены.
• 6. det=0, a·b=-34: коллинеарны и противоположно направлены.
• 7. det=0, a·b=-74: коллинеарны и противоположно направлены.
• 8. det=29, a·b=0: не коллинеарны, следовательно, не противоположно направлены.
• 9. det=0, a·b=-50: коллинеарны и противоположно направлены.
• 10. det=-3, a·b=0: не коллинеарны, следовательно, не противоположно направлены.
• 11. det=0, a·b=-196: коллинеарны и противоположно направлены.
• 12. det=-4, a·b=-1: не коллинеарны, следовательно, не противоположно направлены.
• 13. det=0, a·b=-12: коллинеарны и противоположно направлены.
• 14. det=0, a·b=0: второй вектор нулевой; направления у него нет (термин «противоположно направлены» неприменим).

Обратите внимание на задания 3, 4 и 14: даже если у вектора есть нулевая координата, правило через определитель корректно. Деление вида 0/0 запрещено. Если вектор целиком нулевой, как в задании 14, он коллинеарен любому вектору в алгебраическом смысле, но направление для него не определено. Нельзя делать вывод «противоположно» даже из нулевого определителя.

Что означает противоположное направление в геометрии

Векторы можно переносить параллельно самим себе, не изменяя их координат. Поэтому точки их приложения не обязаны лежать на одной прямой: «коллинеарны» относится к направлениям соответствующих прямых. При наличии двух ненулевых векторов их можно мысленно совместить начальными точками. Они смотрят в разные стороны тогда и только тогда, когда множитель отрицательный.

Критерий удобно применять в два шага. Сначала вычислить det: ненулевое значение немедленно исключает коллинеарность. Затем, только если det=0 и оба вектора ненулевые, проверить знак скалярного произведения. Это экономит расчёты и помогает обнаруживать ошибку, когда ученик по одному знаку координат угадывает направление, не проверив вторую координату.

Письменное обоснование для нетривиальных случаев

Для задания 8 оба вектора ненулевые, но их детерминант равен 2·2−5·(−5)=29. Следовательно, второй вектор не может быть получен умножением первого на одно число; сравнивать направление как противоположное бессмысленно. В задании 10 векторы перпендикулярны: скалярное произведение равно нулю, однако определитель не равен нулю. Перпендикулярность не означает коллинеарности.

Для задания 13 a=(−2; 0), b=(6; 0). Скалярное произведение равно −12, а определитель равен нулю. Число −3 является коэффициентом перехода от a к b; поэтому векторы лежат на одной горизонтальной прямой направления, но смотрят в противоположные стороны. Этот способ надёжнее сравнения одних только знаков, потому что при наклонных векторах одновременно меняются обе координаты.

Наконец, при b=(0; 0) из уравнения det(a,b)=0 нельзя восстановить отрицательный множитель: b=0·a, а ноль не бывает ни положительным, ни отрицательным. Поэтому делайте два отдельных вывода: «коллинеарность выполняется» и «понятие направления здесь неприменимо». Такая развёрнутая формулировка даёт точный математический ответ вместо слов «оба случая верны».

Рассмотрим проверку по точкам. Пусть AB задан точками A=(1; 2), B=(5; 0), а CD — точками C=(−3; 1), D=(−11; 5). Тогда AB=(4; −2), CD=(−8; 4)=−2AB. Хотя отрезки расположены в разных местах координатной плоскости, их направленные векторы противоположно направлены. Это важно для задач с чертежом: нельзя судить о коллинеарности только по совпадению прямых, на которых нарисованы отрезки. Сначала находят компоненты, затем проверяют соотношение. Если поменять местами C и D, знак обоих компонентов CD изменится и направление окажется одинаковым с AB.