Проверка корня на отрезке для косинуса с отрицательным значением: тренажёр для 10 класса

Математика, 10 класс · MATH-1730.

Учебная цель: находить все корни уравнения cos x=c<0 и строго проверять принадлежность замкнутым отрезкам, включая крайние точки.

Метод: сначала отрицательный знак, потом отрезок

Когда cos x отрицателен, угол в пределах одного оборота лежит во II или III четверти. Например, cos x=−1/2 даёт x=2π/3+2πk или x=4π/3+2πk. В задаче на отрезок нельзя ограничиться фразой «II и III четверть»: нужно проверить включение каждого корня в указанные границы.

Следующие 24 пункта образуют три уровня. В каждом записаны уравнение и замкнутый отрезок; укажите все допустимые корни. Если корней нет, напишите именно «нет», а не подставляйте ближайший табличный угол. Для предельных значений −1 точка π появляется один раз за оборот.

Уровень I: полный оборот и симметрия вокруг нуля

1. cos x = −1/2; x ∈ [0; 2π].
2. cos x = −√2/2; x ∈ [0; 2π].
3. cos x = −√3/2; x ∈ [0; 2π].
4. cos x = −1; x ∈ [0; 2π].
5. cos x = −1/2; x ∈ [−π; π].
6. cos x = −√2/2; x ∈ [−π; π].
7. cos x = −√3/2; x ∈ [−π; π].
8. cos x = −1; x ∈ [−π; π].

Уровень II: половины оборота и сдвинутый отрезок

9. cos x = −1/2; x ∈ [0; π].
10. cos x = −√2/2; x ∈ [0; π].
11. cos x = −√3/2; x ∈ [0; π].
12. cos x = −1; x ∈ [0; π].
13. cos x = −1/2; x ∈ [π; 2π].
14. cos x = −√2/2; x ∈ [π; 2π].
15. cos x = −√3/2; x ∈ [π; 2π].
16. cos x = −1; x ∈ [π; 2π].

Уровень III: отрицательные углы и узкие окна

17. cos x = −1/2; x ∈ [−2π; 0].
18. cos x = −√2/2; x ∈ [−2π; 0].
19. cos x = −√3/2; x ∈ [−2π; 0].
20. cos x = −1; x ∈ [−2π; 0].
21. cos x = −1/2; x ∈ [π/2; 3π/2].
22. cos x = −√2/2; x ∈ [π/2; 3π/2].
23. cos x = −√3/2; x ∈ [π/2; 3π/2].
24. cos x = −1; x ∈ [π/2; 3π/2].

Ответы с полными семействами и отбором

1. На [0; 2π]: 2π/3, 4π/3. Семейства: x = 2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 4π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
2. На [0; 2π]: 3π/4, 5π/4. Семейства: x = 3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 5π/4 + 2πk, k ∈ ℤ.
3. На [0; 2π]: 5π/6, 7π/6. Семейства: x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 7π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.
4. На [0; 2π]: π. Семейства: x = π + 2πk, k ∈ ℤ.
5. На [−π; π]: −2π/3, 2π/3. Семейства: x = 2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 4π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
6. На [−π; π]: −3π/4, 3π/4. Семейства: x = 3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 5π/4 + 2πk, k ∈ ℤ.
7. На [−π; π]: −5π/6, 5π/6. Семейства: x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 7π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.
8. На [−π; π]: −π, π. Семейства: x = π + 2πk, k ∈ ℤ.
9. На [0; π]: 2π/3. Семейства: x = 2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 4π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
10. На [0; π]: 3π/4. Семейства: x = 3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 5π/4 + 2πk, k ∈ ℤ.
11. На [0; π]: 5π/6. Семейства: x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 7π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.
12. На [0; π]: π. Семейства: x = π + 2πk, k ∈ ℤ.
13. На [π; 2π]: 4π/3. Семейства: x = 2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 4π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
14. На [π; 2π]: 5π/4. Семейства: x = 3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 5π/4 + 2πk, k ∈ ℤ.
15. На [π; 2π]: 7π/6. Семейства: x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 7π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.
16. На [π; 2π]: π. Семейства: x = π + 2πk, k ∈ ℤ.
17. На [−2π; 0]: −4π/3, −2π/3. Семейства: x = 2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 4π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
18. На [−2π; 0]: −5π/4, −3π/4. Семейства: x = 3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 5π/4 + 2πk, k ∈ ℤ.
19. На [−2π; 0]: −7π/6, −5π/6. Семейства: x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 7π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.
20. На [−2π; 0]: −π. Семейства: x = π + 2πk, k ∈ ℤ.
21. На [π/2; 3π/2]: 2π/3, 4π/3. Семейства: x = 2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 4π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
22. На [π/2; 3π/2]: 3π/4, 5π/4. Семейства: x = 3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 5π/4 + 2πk, k ∈ ℤ.
23. На [π/2; 3π/2]: 5π/6, 7π/6. Семейства: x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 7π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.
24. На [π/2; 3π/2]: π. Семейства: x = π + 2πk, k ∈ ℤ.

Контроль геометрического смысла: cos x=−√3/2 соответствует углам 5π/6 и 7π/6, а не π/6 и 11π/6. Если найден корень 7π/6, то он действительно принадлежит [π;2π], но не принадлежит [0;π]. Для отрицательного отрезка представьте аналогичный корень как 7π/6−2π=−5π/6. Это одна точка периода, записанная в другом обороте.

Проверка крайних точек: для cos x=−1 возможны …,−π,π,3π,… . На отрезке [−π;π] оба конца являются корнями, потому что функция имеет период 2π и cos(−π)=cos π=−1. При этом два числа −π и π — разные допустимые значения x, их нельзя объединять в один ответ.