Проверка корня на отрезке на ограниченном интервале углов — рабочий лист для 10 класса

Табличный практикум · 10 класс · 16 заданий. Тренируем не только нахождение серии решений, но и вторую обязательную проверку: лежит ли найденный угол на заданном замкнутом отрезке. Все углы даны в радианах. Корень на правой или левой границе включается, если действительно удовлетворяет исходному уравнению.

Содержание статьи6 разделов

Таблица для чтения и проверки

В таблице специально встречаются правильные кандидаты, посторонние углы и действительные корни, лежащие за пределами отрезка. Перепроверьте каждую строку перед тем, как смотреть решения.

№ Уравнение Отрезок Предложенный x
1 sin x = 1/2 [0; π] π/6
2 cos x = −1/2 [0; 2π] 4π/3
3 sin x = −1/2 [−π; 0] π/6
4 cos x = 1/2 [−π; π] −π/3
5 sin x = 0 [0; 2π] 2π
6 cos x = 0 [−π; 0] π/2
7 sin x = 1 [0; 2π] π/2
8 cos x = −1 [−π; π] −π

Правило: сначала подставьте x в левую часть, затем проверьте два нестрогих условия L ≤ x ≤ R. Для sin x = a при |a|<1 действуют две серии; для cos x = a также нужно учитывать обе серии ± arccos(a)+2πk. Нельзя ограничиваться одним значением арксинуса или арккосинуса.

Тип Две серии на всей прямой На отрезке
sin x = 1/2 π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk Оставить значения между L и R
cos x = −1/2 2π/3 + 2πk; −2π/3 + 2πk Сначала выписать допустимые k
sin x = 0 πk, k — целое Концы проверить подстановкой

Часть I. Чтение таблицы и обнаружение противоречий

  1. № 1. Для sin x = 1/2 на [0; π] проверьте предложение x=π/6 и перечислите все допустимые корни.
  2. № 2. Для cos x = −1/2 на [0; 2π] проверьте предложение x=4π/3 и перечислите все допустимые корни.
  3. № 3. Для sin x = −1/2 на [−π; 0] проверьте предложение x=π/6 и перечислите все допустимые корни.
  4. № 4. Для cos x = 1/2 на [−π; π] проверьте предложение x=−π/3 и перечислите все допустимые корни.
  5. № 5. Для sin x = 0 на [0; 2π] проверьте предложение x=2π и перечислите все допустимые корни.
  6. № 6. Для cos x = 0 на [−π; 0] проверьте предложение x=π/2 и перечислите все допустимые корни.
  7. № 7. Для sin x = 1 на [0; 2π] проверьте предложение x=π/2 и перечислите все допустимые корни.
  8. № 8. Для cos x = −1 на [−π; π] проверьте предложение x=−π и перечислите все допустимые корни.

Часть II. Вычисление без подсказки

Здесь вместо предложенного угла нужно построить полное множество корней на отрезке. Не забывайте о корнях с отрицательными углами. Можете сделать небольшой чертёж оси углов, но не заменяйте им точную проверку.

  1. № 9. Самостоятельно найдите корни sin x = 1/2 на [−π; 0]. Отдельно укажите, принадлежат ли отрезку его концы, если они являются корнями.
  2. № 10. Самостоятельно найдите корни cos x = −1/2 на [−2π; 0]. Отдельно укажите, принадлежат ли отрезку его концы, если они являются корнями.
  3. № 11. Самостоятельно найдите корни sin x = −1/2 на [π; 3π]. Отдельно укажите, принадлежат ли отрезку его концы, если они являются корнями.
  4. № 12. Самостоятельно найдите корни cos x = 1/2 на [π; 3π]. Отдельно укажите, принадлежат ли отрезку его концы, если они являются корнями.
  5. № 13. Самостоятельно найдите корни sin x = 0 на [−2π; π]. Отдельно укажите, принадлежат ли отрезку его концы, если они являются корнями.
  6. № 14. Самостоятельно найдите корни cos x = 0 на [0; 2π]. Отдельно укажите, принадлежат ли отрезку его концы, если они являются корнями.
  7. № 15. Самостоятельно найдите корни sin x = 1 на [−2π; 2π]. Отдельно укажите, принадлежат ли отрезку его концы, если они являются корнями.
  8. № 16. Самостоятельно найдите корни cos x = −1 на [0; 3π]. Отдельно укажите, принадлежат ли отрезку его концы, если они являются корнями.

Ключ к таблице — задания 1–8

  1. Ответ 1. Кандидат x=π/6 верен: угол удовлетворяет уравнению и принадлежит отрезку. По двум сериям получаем π/6, 5π/6; граничные значения включаются.
  2. Ответ 2. Кандидат x=4π/3 верен: угол удовлетворяет уравнению и принадлежит отрезку. По двум сериям получаем 2π/3, 4π/3; граничные значения включаются.
  3. Ответ 3. Кандидат x=π/6 не удовлетворяет уравнению. По двум сериям получаем −5π/6, −π/6; граничные значения включаются.
  4. Ответ 4. Кандидат x=−π/3 верен: угол удовлетворяет уравнению и принадлежит отрезку. По двум сериям получаем −π/3, π/3; граничные значения включаются.
  5. Ответ 5. Кандидат x=2π верен: угол удовлетворяет уравнению и принадлежит отрезку. По двум сериям получаем 0, π, 2π; граничные значения включаются.
  6. Ответ 6. Кандидат x=π/2 корень уравнения, но находится вне отрезка. По двум сериям получаем −π/2; граничные значения включаются.
  7. Ответ 7. Кандидат x=π/2 верен: угол удовлетворяет уравнению и принадлежит отрезку. По двум сериям получаем π/2; граничные значения включаются.
  8. Ответ 8. Кандидат x=−π верен: угол удовлетворяет уравнению и принадлежит отрезку. По двум сериям получаем −π, π; граничные значения включаются.

Решения самостоятельной части — задания 9–16

  1. Ответ 9. первая серия: нет корней ; вторая серия: нет корней. После объединения: нет корней. Количество: 0. Оба конца включены в отрезок, но в ответ попадёт только конец, выполняющий уравнение.
  2. Ответ 10. первая серия: −4π/3 ; вторая серия: −2π/3. После объединения: −4π/3, −2π/3. Количество: 2. Оба конца включены в отрезок, но в ответ попадёт только конец, выполняющий уравнение.
  3. Ответ 11. первая серия: 11π/6 ; вторая серия: 7π/6. После объединения: 7π/6, 11π/6. Количество: 2. Оба конца включены в отрезок, но в ответ попадёт только конец, выполняющий уравнение.
  4. Ответ 12. первая серия: 7π/3 ; вторая серия: 5π/3. После объединения: 5π/3, 7π/3. Количество: 2. Оба конца включены в отрезок, но в ответ попадёт только конец, выполняющий уравнение.
  5. Ответ 13. первая серия: −2π, 0 ; вторая серия: −π, π. После объединения: −2π, −π, 0, π. Количество: 4. Оба конца включены в отрезок, но в ответ попадёт только конец, выполняющий уравнение.
  6. Ответ 14. первая серия: π/2 ; вторая серия: 3π/2. После объединения: π/2, 3π/2. Количество: 2. Оба конца включены в отрезок, но в ответ попадёт только конец, выполняющий уравнение.
  7. Ответ 15. первая серия: −3π/2, π/2 ; вторая серия: −3π/2, π/2. После объединения: −3π/2, π/2. Количество: 2. Оба конца включены в отрезок, но в ответ попадёт только конец, выполняющий уравнение.
  8. Ответ 16. первая серия: π, 3π ; вторая серия: π, 3π. После объединения: π, 3π. Количество: 2. Оба конца включены в отрезок, но в ответ попадёт только конец, выполняющий уравнение.

Итоговая проверка границ

Если найден угол x=L или x=R, он допустим: запись [L;R] означает замкнутый отрезок. При строгом интервале (L;R) эти точки исключались бы. Отдельно проверяйте равенство исходного выражения: угол внутри отрезка не обязательно является корнем. В качестве самопроверки можно заменить x на x+2π и убедиться, что значение sin или cos не изменится, но принадлежность ограниченному отрезку может измениться.

Для оценки работы: 1 балл за проверку предложенного угла и 1 балл за полный перечень корней в заданиях 1–8; по 2 балла за задания 9–16. Максимум — 32 балла. Ошибку, связанную с концом отрезка, полезно отметить отдельно от ошибки при нахождении общего решения.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым