Проверка корня на отрезке при переходе к одной функции: мини-практикум с ответами, 10 класс

Математика, 10 класс · MATH-1732.

Учебная цель: сравнивать два пути отбора корней после перехода к одной тригонометрической функции и проверять исходное уравнение.

Вариант А: привести уравнение к одной функции и проверить на [0;2π]

В каждом задании сначала приведите выражение к t=sin x или t=cos x. Затем решите обычное квадратное или линейное уравнение относительно t, отбросьте значения вне [−1;1] и только после этого отбирайте x на отрезке. Обязательно включайте его границы. Можно пользоваться формулами sin²x+cos²x=1 и периодичностью функций.

1. 2sin²x−sin x−1=0; x∈[0;2π].
2. 2cos²x+cos x−1=0; x∈[0;2π].
3. sin²x+cos²x+2sin x=0; x∈[0;2π].
4. sin²x+cos²x−2cos x=0; x∈[0;2π].
5. sin²x+cos²x−2sin x=0; x∈[0;2π].
6. sin²x+cos²x+2cos x=0; x∈[0;2π].
7. 5sin²x+cos²x=2; x∈[0;2π].
8. sin²x+5cos²x=2; x∈[0;2π].

Вариант Б: та же функция, но другой отрезок [−π;π]

Сравните ответы одноимённых задач с первым вариантом. На интервале вокруг нуля ветвь из IV четверти удобнее записывать отрицательным углом. Сравните −π/6 с 11π/6: это одинаковые положения на окружности, но разная пригодность для заданного отрезка.

9. 2sin²x−sin x−1=0; x∈[−π;π].
10. 2cos²x+cos x−1=0; x∈[−π;π].
11. sin²x+cos²x+2sin x=0; x∈[−π;π].
12. sin²x+cos²x−2cos x=0; x∈[−π;π].
13. sin²x+cos²x−2sin x=0; x∈[−π;π].
14. sin²x+cos²x+2cos x=0; x∈[−π;π].
15. 5sin²x+cos²x=2; x∈[−π;π].
16. sin²x+5cos²x=2; x∈[−π;π].

Ключ для взаимной проверки

1. После перехода к одной функции допустимые корни на [0;2π]: π/2, 7π/6, 11π/6. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
2. После перехода к одной функции допустимые корни на [0;2π]: π/3, π, 5π/3. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
3. После перехода к одной функции допустимые корни на [0;2π]: 7π/6, 11π/6. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
4. После перехода к одной функции допустимые корни на [0;2π]: π/3, 5π/3. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
5. После перехода к одной функции допустимые корни на [0;2π]: π/6, 5π/6. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
6. После перехода к одной функции допустимые корни на [0;2π]: 2π/3, 4π/3. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
7. После перехода к одной функции допустимые корни на [0;2π]: π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
8. После перехода к одной функции допустимые корни на [0;2π]: π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
9. После перехода к одной функции допустимые корни на [−π;π]: −5π/6, −π/6, π/2. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
10. После перехода к одной функции допустимые корни на [−π;π]: −π, −π/3, π/3, π. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
11. После перехода к одной функции допустимые корни на [−π;π]: −5π/6, −π/6. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
12. После перехода к одной функции допустимые корни на [−π;π]: −π/3, π/3. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
13. После перехода к одной функции допустимые корни на [−π;π]: π/6, 5π/6. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
14. После перехода к одной функции допустимые корни на [−π;π]: −2π/3, 2π/3. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
15. После перехода к одной функции допустимые корни на [−π;π]: −5π/6, −π/6, π/6, 5π/6. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.
16. После перехода к одной функции допустимые корни на [−π;π]: −2π/3, −π/3, π/3, 2π/3. Проверка: подстановка в исходное уравнение даёт равенство.

Разбор трёх неочевидных переходов

Для пункта 1 положим t=sin x: (2t+1)(t−1)=0. Значит sin x=−1/2 либо sin x=1. На [0;2π] подходят x=π/2, 7π/6, 11π/6. На [−π;π] вместо углов III–IV четвертей следует записать отрицательные x=−5π/6 и −π/6, сохранив положительное π/2. Три корня получаются из двух допустимых значений функции.

Для пункта 5 тождество sin²x+cos²x=1 превращает уравнение в 1−2sin x=0, то есть sin x=1/2. На [0;2π] это x=π/6 и 5π/6. В пункте 6 получается 1+2cos x=0, то есть cos x=−1/2, и на том же отрезке x=2π/3, 4π/3. Похожие алгебраические записи приводят к разным четвертям, поэтому нельзя механически копировать ответ.

Для пункта 7 из 5sin²x+cos²x=2 следует 1+4sin²x=2, значит sin²x=1/4. Не теряйте отрицательный корень: sin x=±1/2. На [0;2π] это π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6; на [−π;π] это −5π/6, −π/6, π/6, 5π/6. В пункте 8 переход к cos²x=1/4 также даёт четыре точки, но с другой геометрией.

Оценивание: за верное преобразование до одной функции — 1 балл; за все допустимые значения тригонометрической функции — 1; за точный отбор корней на отрезке — 1. Так ученику видно, на каком этапе возникла ошибка — в алгебре, восстановлении углов или ограничении промежутком.