Проверка кратности суммы для делителей 2 и 5 одновременно — диагностика ошибок, 5 класс

Контроль школьных комплектов: где ошибся проверяющий?

Для спортивного праздника школа объединяет коробки с одинаковыми сувенирами. В каждой строке таблицы записано число предметов в двух партиях. В комплект должно входить ровно 10 предметов, без остатка. Проверяющий поставил отметку, можно ли разложить сумму двух партий на целые комплекты по десять. Часть отметок правильная, часть — нет. Ваша задача — не доверять записи автоматически, а проверить каждое решение.

Число делится одновременно на 2 и на 5 тогда и только тогда, когда оно делится на 10, то есть оканчивается на 0. Важна последняя цифра суммы, а не одинаковая последняя цифра каждого слагаемого. Два числа, не кратные 10 по отдельности, при сложении могут дать кратную десяти сумму.

12 вопросов к одной таблице

1. Найдите сумму в пункте А и проверьте отметку. Сколько получится комплектов?
2. Проверьте Б: правильно ли проверяющий разрешил упаковку по 10? Найдите остаток.
3. Проверьте В. Если отметка неверна, назовите правильную и число комплектов.
4. Проверьте Г и объясните ошибку в отметке через последнюю цифру суммы.
5. Проверьте Д: найдите итог и количество комплектов по десять.
6. Проверьте Е: чему равен остаток при делении суммы на 10?
7. Укажите все пункты, в которых отметка в таблице неверна; сколько их?
8. Сложите итоговые количества предметов пунктов А и В. Будет ли общая партия делиться одновременно на 2 и на 5?
9. Сколько предметов <strong>минимально добавить</strong> в пункт Б, чтобы получить целое число десятков?
10. Сколько предметов <strong>минимально убрать</strong> из пункта Г, чтобы сумма стала кратной 10?
11. Для пункта Е найдите наименьшее положительное пополнение, делающее итог кратным 10. Назовите новый итог.
12. Проверяющий заявил: «Если число в первой партии чётное, итог обязательно кратен 10». Опровергните утверждение строкой таблицы.

Модель решения и диагностика ошибки

Обозначим количества двух партий через a и b. Всего предметов S = a + b. Запись S = 10k означает, что можно создать k полных комплектов. Если последняя цифра S — не ноль, остаток при делении на 10 равен этой цифре. Например, для А: 138 + 172 = 310 = 10 × 31. А вот Б: 246 + 185 = 431; сорок три комплекта содержат только 430 предметов, и один остаётся.

Предупреждение: не нужно проверять делимость каждого слагаемого на 2 и 5. В А число 138 не делится на 5, число 172 тоже не делится на 5; при этом их сумма 310 заканчивается на 0. Ошибка «если слагаемые не делятся, то и сумма не делится» неверна. Удобно считать только единицы: 8 + 2 = 10, поэтому в конце суммы 0, а единица переходит в десятки.

Ключ к 12 заданиям

1. 310, отметка верная. 310 : 10 = 31 полный комплект, остатка нет.
2. 431, отметка ошибочная. Деление на 10 даёт 43 комплекта и остаток 1; число не кратно одновременно 2 и 5.
3. 760, отметка ошибочная. Правильная отметка «да»: 760 : 10 = 76.
4. 719, отметка ошибочная. На конце 9, а не 0; 71 комплект и остаток 9.
5. 700, отметка верная. Получится 70 комплектов без остатка.
6. 889, остаток 9. Отметка «нет» правильна: 88 полных комплектов и 9 предметов останутся.
7. Б, В и Г — три ошибки. Остальные отметки А, Д, Е согласуются с вычислениями.
8. 310 + 760 = 1070. Да, новая сумма кратна 10: последняя цифра 0.
9. 9 предметов. 431 + 9 = 440; прибавка от 1 до 8 оставила бы единицы от 2 до 9.
10. 9 предметов. 719 − 9 = 710; при вычитании меньшего положительного количества единицы не станут нулём.
11. 1 предмет. 889 + 1 = 890, это 89 полных комплектов.
12. Б: 246 чётное, но 246 + 185 = 431 не оканчивается на ноль и потому не делится на 5.

Как быстро заметить неверную отметку

Сначала сверьте сумму именно по двум столбцам: иногда ученик по ошибке переносит число из соседней строки. Затем взгляните на цифру единиц. Если в сложении единиц 8 + 2 получается 10, пишем 0 в единицах и переносим 1. Если 6 + 5 = 11, единицы равны 1, поэтому итог нельзя разделить на десять комплектов без остатка. Все промежуточные десятки и сотни влияют на количество комплектов, но не на сам факт делимости на 10.

При чтении таблицы различайте слова «кратно 2», «кратно 5» и «кратно одновременно 2 и 5». Число с концом 6 кратно 2, но не 5. Число с концом 5 кратно 5, но не 2. Только окончание 0 выполняет оба условия. Например, результат 700 подходит для полных десятков независимо от того, что число 468 в первом столбце само на 5 не делится.

Для проверки ответа на вопросы о добавлении и удалении важно слово «минимально». Если к 431 добавить 19, тоже получится 450, кратное 10, но это не наименьшая прибавка. Выясните остаток r от деления исходного числа на 10: чтобы убрать лишнее, нужно r предметов; чтобы добавить и достичь следующего десятка, при r > 0 нужно 10 − r. В случае r = 0 ничего менять не требуется. Здесь просят положительную прибавку лишь для пункта Е, где r = 9.

Удобная форма взаимопроверки: один ученик называет только последние цифры двух партий, другой прогнозирует окончание суммы; затем вместе проверяют полное сложение. Разногласие в окончании указывает либо на ошибку единиц, либо на неверное использование правила кратности. Такой способ не заменяет полный подсчёт комплектов, но быстро отсекает заведомо неправильные отметки.

Обсудите результат словами, а не одним «да» или «нет». Верное объяснение состоит из утверждения о сумме, проверки последней цифры и вывода о количестве полных десятков. В задании Б формулировка «431 делится на 2 и на 5» неверна сразу по обоим признакам. В задании В неверна только отметка проверяющего: сама арифметическая сумма 760 рассчитана верно.