Проверка кратности суммы для делителей 4 и 8: упражнения разной сложности, 5 класс

Два варианта: вычислить сумму или исправить её остаток

В пятом классе полезно сравнивать два разных способа. В варианте А нужно посчитать точную сумму и проверить кратность 4 и 8. В варианте Б исходная сумма уже задаёт остаток, а ученик подбирает минимальную поправку, чтобы выполнить условие. Оба варианта относятся именно к сумме слагаемых, а не к сумме их цифр.

Для делимости на 4 достаточно проверить число, составленное из двух последних цифр; для 8 — из трёх последних цифр. Например, если сумма заканчивается на 216, то 16 делится на 4, а 216 делится на 8: вся сумма кратна обоим делителям. Если оканчивается на 212, то она кратна 4, но не 8. И наоборот, кратность 8 всегда гарантирует кратность 4.

Вариант А. Восемь прямых проверок

Каждую пару складывайте столбиком. После вычисления найдите остатки от деления суммы на 4 и на 8. Одна и та же сумма может делиться на 4, но не на 8: эти ответы не противоречат друг другу. Слова «да» или «нет» без остатков не считаются полным ответом.

1. Найдите сумму 1327 + 2489. Установите, кратна ли она 4 и 8; укажите остаток при делении на каждый из этих делителей.
2. Найдите сумму 1645 + 2379. Установите, кратна ли она 4 и 8; укажите остаток при делении на каждый из этих делителей.
3. Найдите сумму 1836 + 2540. Установите, кратна ли она 4 и 8; укажите остаток при делении на каждый из этих делителей.
4. Найдите сумму 1477 + 2467. Установите, кратна ли она 4 и 8; укажите остаток при делении на каждый из этих делителей.
5. Найдите сумму 1563 + 2678. Установите, кратна ли она 4 и 8; укажите остаток при делении на каждый из этих делителей.
6. Найдите сумму 1782 + 2194. Установите, кратна ли она 4 и 8; укажите остаток при делении на каждый из этих делителей.
7. Найдите сумму 1855 + 2169. Установите, кратна ли она 4 и 8; укажите остаток при делении на каждый из этих делителей.
8. Найдите сумму 1946 + 2362. Установите, кратна ли она 4 и 8; укажите остаток при делении на каждый из этих делителей.

Вариант Б. Восемь задач на минимальную поправку

Теперь вы не обязаны перебрать все числа подряд: определите остаток исходной суммы. Для кратности 8 дополняйте остаток до 8; для кратности 4 — до 4. Если требуется кратность 4, но не 8, проверьте также, не попало ли исправленное число в кратные 8. Значение k = 0 разрешено и означает, что поправка не нужна.

1. К сумме 1431 + 2262 разрешено прибавить неотрицательное целое число k от 0 до 15. Найдите наименьшее k, при котором результат делится на 8. Укажите итоговую сумму.
2. К сумме 1526 + 2371 разрешено прибавить неотрицательное целое число k от 0 до 15. Найдите наименьшее k, при котором результат делится на 4. Укажите итоговую сумму.
3. К сумме 1682 + 2249 разрешено прибавить неотрицательное целое число k от 0 до 15. Найдите наименьшее k, при котором результат делится на 8. Укажите итоговую сумму.
4. К сумме 1753 + 2324 разрешено прибавить неотрицательное целое число k от 0 до 15. Найдите наименьшее k, при котором результат делится на 4, но не 8. Укажите итоговую сумму.
5. К сумме 1847 + 2136 разрешено прибавить неотрицательное целое число k от 0 до 15. Найдите наименьшее k, при котором результат делится на 8. Укажите итоговую сумму.
6. К сумме 1961 + 2226 разрешено прибавить неотрицательное целое число k от 0 до 15. Найдите наименьшее k, при котором результат делится на 4, но не 8. Укажите итоговую сумму.
7. К сумме 1708 + 2355 разрешено прибавить неотрицательное целое число k от 0 до 15. Найдите наименьшее k, при котором результат делится на 8. Укажите итоговую сумму.
8. К сумме 1549 + 2413 разрешено прибавить неотрицательное целое число k от 0 до 15. Найдите наименьшее k, при котором результат делится на 4. Укажите итоговую сумму.

Ключ к варианту А

1. 1327 + 2489 = 3816. Остатки: по 4 — 0, по 8 — 0. Кратно 4: да; кратно 8: да. Последние три цифры — 816.
2. 1645 + 2379 = 4024. Остатки: по 4 — 0, по 8 — 0. Кратно 4: да; кратно 8: да. Последние три цифры — 024.
3. 1836 + 2540 = 4376. Остатки: по 4 — 0, по 8 — 0. Кратно 4: да; кратно 8: да. Последние три цифры — 376.
4. 1477 + 2467 = 3944. Остатки: по 4 — 0, по 8 — 0. Кратно 4: да; кратно 8: да. Последние три цифры — 944.
5. 1563 + 2678 = 4241. Остатки: по 4 — 1, по 8 — 1. Кратно 4: нет; кратно 8: нет. Последние три цифры — 241.
6. 1782 + 2194 = 3976. Остатки: по 4 — 0, по 8 — 0. Кратно 4: да; кратно 8: да. Последние три цифры — 976.
7. 1855 + 2169 = 4024. Остатки: по 4 — 0, по 8 — 0. Кратно 4: да; кратно 8: да. Последние три цифры — 024.
8. 1946 + 2362 = 4308. Остатки: по 4 — 0, по 8 — 4. Кратно 4: да; кратно 8: нет. Последние три цифры — 308.

Ключ к варианту Б

1. Исходная сумма 3693. Наименьшее k = 3, итог 3696. Остатки по 4 и 8 после прибавления: 0 и 0 соответственно. Для всех меньших k нужное условие не выполнено.
2. Исходная сумма 3897. Наименьшее k = 3, итог 3900. Остатки по 4 и 8 после прибавления: 0 и 4 соответственно. Для всех меньших k нужное условие не выполнено.
3. Исходная сумма 3931. Наименьшее k = 5, итог 3936. Остатки по 4 и 8 после прибавления: 0 и 0 соответственно. Для всех меньших k нужное условие не выполнено.
4. Исходная сумма 4077. Наименьшее k = 7, итог 4084. Остатки по 4 и 8 после прибавления: 0 и 4 соответственно. Для всех меньших k нужное условие не выполнено.
5. Исходная сумма 3983. Наименьшее k = 1, итог 3984. Остатки по 4 и 8 после прибавления: 0 и 0 соответственно. Для всех меньших k нужное условие не выполнено.
6. Исходная сумма 4187. Наименьшее k = 1, итог 4188. Остатки по 4 и 8 после прибавления: 0 и 4 соответственно. Для всех меньших k нужное условие не выполнено.
7. Исходная сумма 4063. Наименьшее k = 1, итог 4064. Остатки по 4 и 8 после прибавления: 0 и 0 соответственно. Для всех меньших k нужное условие не выполнено.
8. Исходная сумма 3962. Наименьшее k = 2, итог 3964. Остатки по 4 и 8 после прибавления: 0 и 4 соответственно. Для всех меньших k нужное условие не выполнено.

Взаимная проверка: два случая, которые легко перепутать

Сумма, кратная 8, обязательно кратна 4. Действительно, если S = 8m, то S = 4 × (2m). Обратное неверно: 12 = 4 × 3, но 12 : 8 не является целым. Поэтому при требовании «кратно 4, но не 8» в первую очередь проверяйте наличие двух разных результатов, а не выбирайте число только по признаку четности.

Второй случай — перенос из сотен в тысячи. Для кратности 8 он не имеет значения: число 12 456 и число 456 имеют одинаковый остаток при делении на 8. Для кратности 4 хватит окончания 56. Но для ответа «наименьшая прибавка» нужно всё-таки работать с полной суммой, чтобы верно назвать итоговое число.

В парной работе один ученик оценивает остаток по двум/трём последним цифрам, а другой проверяет обычным делением. Если результаты не совпали, сначала найдите ошибки в вычислении исходной суммы, и только затем спорьте о признаке делимости. Так отличают ошибку сложения от ошибки логического вывода.

Отдельно проверьте, что во втором варианте названо именно наименьшее k. Показать лишь одно число, при котором делимость выполняется, недостаточно. Для делителя 8 можно быстро сравнить целые k от 0 до 7, поскольку за восемь последовательных значений k каждый возможный остаток встречается ровно один раз. Для условия «4, но не 8» также удобно проверить ближайшее подходящее кратное 4.