Проверка кратности суммы при фиксированной сумме цифр — задания с разбором, 5 класс

Разберём спорное утверждение

«Если сумма цифр двух слагаемых фиксирована, то всегда можно узнать, делится ли их обычная сумма на любое число». Это неверно. Суммы цифр помогают определять остаток при делении на 3 или 9. Но для 2, 4, 5 этого недостаточно: важны окончания самих чисел. В задачах ниже каждый раз спрашивается кратность именно A + B, а не кратность величины «сумма цифр A плюс сумма цифр B».

Ключевое наблюдение: 10 при делении на 9 даёт остаток 1, 100 тоже даёт остаток 1, 1000 — также. Поэтому число 247 и сумма его цифр 2 + 4 + 7 = 13 имеют одинаковые остатки при делении на 9 и на 3. Тот же факт верен для каждого слагаемого отдельно; при сложении остатки складываются и затем приводятся по модулю делителя.

Почему признак работает: доказательство на разрядах

Запишем трёхзначное число как 100a + 10b + c. По модулю 9 разности 100 − 1 = 99 и 10 − 1 = 9 кратны девяти. Значит, число и сумма a + b + c отличаются на число, кратное девяти. Для делителя 3 это тоже верно: 99 и 9 кратны трём. У многозначных чисел рассуждение продолжается для каждого разряда, поэтому менять цифры местами можно, а менять их сумму нельзя, если используется только признак для 3 и 9.

Пусть D(A) означает сумму цифр A. Тогда при делении на 3 или 9 числа A + B и D(A) + D(B) имеют одинаковые остатки. В частности, если D(A) = 16 и D(B) = 11, то A + B сравнимо с 27 и делится на 3 и на 9. Не путайте формулу с утверждением, что сами величины равны: численная сумма A + B обычно намного больше суммы её цифровых частей.

Карточка доказательств: восемь независимых случаев

Для каждого пункта решите, можно ли сделать вывод для любых допустимых A и B. Нельзя подставлять единственную удобную пару и на этом останавливаться: по условию конкретные числа неизвестны. Нужно вывести остаток из сумм цифр.

1. Известно, что у числа A сумма цифр равна 16, а у B — 11. Обязательно ли сумма A + B делится на 3? Обоснуйте ответ без знания самих чисел A и B.
2. Известно, что у числа A сумма цифр равна 19, а у B — 17. Обязательно ли сумма A + B делится на 9? Обоснуйте ответ без знания самих чисел A и B.
3. Известно, что у числа A сумма цифр равна 14, а у B — 14. Обязательно ли сумма A + B делится на 3? Обоснуйте ответ без знания самих чисел A и B.
4. Известно, что у числа A сумма цифр равна 13, а у B — 22. Обязательно ли сумма A + B делится на 9? Обоснуйте ответ без знания самих чисел A и B.
5. Известно, что у числа A сумма цифр равна 25, а у B — 2. Обязательно ли сумма A + B делится на 9? Обоснуйте ответ без знания самих чисел A и B.
6. Известно, что у числа A сумма цифр равна 17, а у B — 16. Обязательно ли сумма A + B делится на 3? Обоснуйте ответ без знания самих чисел A и B.
7. Известно, что у числа A сумма цифр равна 11, а у B — 23. Обязательно ли сумма A + B делится на 9? Обоснуйте ответ без знания самих чисел A и B.
8. Известно, что у числа A сумма цифр равна 20, а у B — 7. Обязательно ли сумма A + B делится на 3? Обоснуйте ответ без знания самих чисел A и B.

Найдите слабое место утверждения: четыре задачи на рассуждение

1. У A сумма цифр 18, у B сумма цифр 3. Ученик сказал: «По этим данным всегда известно, кратна ли сумма A + B числу 4». Проверьте утверждение на парах 396 и 120, затем 189 и 120. Почему ответы разные?
2. Суммы цифр двух чисел равны 13 и 14. Можно ли по этим данным однозначно определить чётность A + B? Сравните пары 49 + 59 и 76 + 59, не меняя указанные суммы цифр.
3. У первого числа сумма цифр равна 12, у второго — 6. Достаточно ли этого, чтобы решить вопрос о делимости A + B на 5? Сравните 57 + 33 и 39 + 33.
4. Нужно ли вычислять сами A и B, если суммы их цифр равны 21 и 15, чтобы доказать, что A + B делится на 9? Объясните, какое свойство разрядной записи используется.

Ответы и доказательства к первым восьми пунктам

1. Да, обязательно. Сумма сумм цифр 16 + 11 = 27; остаток при делении на 3 равен 0. Сама сумма A + B имеет тот же остаток, значит вывод справедлив для любых чисел с указанными суммами цифр.
2. Да, обязательно. Сумма сумм цифр 19 + 17 = 36; остаток при делении на 9 равен 0. Сама сумма A + B имеет тот же остаток, значит вывод справедлив для любых чисел с указанными суммами цифр.
3. Нет, не делится. Сумма сумм цифр 14 + 14 = 28; остаток при делении на 3 равен 1. Сама сумма A + B имеет тот же остаток, значит вывод справедлив для любых чисел с указанными суммами цифр.
4. Нет, не делится. Сумма сумм цифр 13 + 22 = 35; остаток при делении на 9 равен 8. Сама сумма A + B имеет тот же остаток, значит вывод справедлив для любых чисел с указанными суммами цифр.
5. Да, обязательно. Сумма сумм цифр 25 + 2 = 27; остаток при делении на 9 равен 0. Сама сумма A + B имеет тот же остаток, значит вывод справедлив для любых чисел с указанными суммами цифр.
6. Да, обязательно. Сумма сумм цифр 17 + 16 = 33; остаток при делении на 3 равен 0. Сама сумма A + B имеет тот же остаток, значит вывод справедлив для любых чисел с указанными суммами цифр.
7. Нет, не делится. Сумма сумм цифр 11 + 23 = 34; остаток при делении на 9 равен 7. Сама сумма A + B имеет тот же остаток, значит вывод справедлив для любых чисел с указанными суммами цифр.
8. Да, обязательно. Сумма сумм цифр 20 + 7 = 27; остаток при делении на 3 равен 0. Сама сумма A + B имеет тот же остаток, значит вывод справедлив для любых чисел с указанными суммами цифр.

Разбор четырёх нестандартных задач

1. Недостаточно. 396 + 120 = 516 — делится на 4 (последние две цифры 16), а 189 + 120 = 309 — не делится на 4. При этом суммы цифр 396 и 189 обе равны 18, у числа 120 — 3. Условия соблюдены, выводы разные.
2. Нет. 49 + 59 = 108 — чётное число. Но 76 + 59 = 135 — нечётное. У 49 и 76 одна и та же сумма цифр 13; у 59 сумма цифр 14. Поэтому признак для 2 по одним суммам цифр не работает.
3. Недостаточно. 57 + 33 = 90, число делится на 5. Но 39 + 33 = 72, число не делится на 5. Сумма цифр 57 и 39 равна 12, у 33 равна 6. Важна последняя цифра настоящей суммы, а не цифровая сумма слагаемых.
4. Нет, вычислять A и B не нужно. 21 + 15 = 36, делится на 9. В разрядной записи 10, 100, 1000 и последующие степени десяти при делении на 9 оставляют остаток 1; поэтому A + B имеет тот же остаток, что и 36, то есть ноль.

Обратите внимание на особые случаи

Сумма цифр может быть больше 9, например 25. Для признака делимости её разрешено использовать как обычное число: 25 при делении на 9 даёт остаток 7. Нельзя просто смотреть на последнюю цифру цифровой суммы. Если суммарная цифровая сумма равна 0, оба слагаемых как неотрицательные числа равны нулю, и сумма делится на любой положительный делитель; это особый случай, но правило остатков остаётся верным.

Если суммарная сумма цифр делится на 9, обычная сумма двух слагаемых автоматически делится на 3, поскольку любое кратное 9 кратно и 3. Обратное неверно: сумма цифровых сумм 12 делится на 3, но не на 9. Поэтому в письменном ответе обязательно назовите конкретный делитель: «кратно 3» не равно «кратно 9».

Для доказательства отрицательного ответа иногда достаточно указать ненулевой остаток по 3 или 9: например, если цифровые суммы дают 28, остаток по 3 равен 1, следовательно, сумма A + B никогда не будет кратна 3 при заданных условиях. Но чтобы опровергнуть возможность установить делимость по 4 либо 5, нужны две допустимые пары с разными выводами — именно это показывают задачи 9–11.

Применяйте доказательство только в тех границах, где оно верно. Признаки 3 и 9 сохраняются при сложении остатков; для 4 и 8 обычно проверяют последние два и три разряда уже вычисленной суммы. Если число не дано полностью и известны одни лишь цифровые суммы, нельзя объявлять его кратным 4 из того, что цифровая сумма кратна 4.

Проверка самостоятельного решения: после слов «по признаку делимости» ученик должен суметь назвать сам признак и показать вычисление остатка. Для ответа «да» нужна аргументация, действующая для всяких A и B. Для ответа «нет» о возможности предсказать кратность может потребоваться контрпример. Такой формат тренирует математическое доказательство, а не механическое вычисление отдельных сумм.