Проверка кратности суммы при условии на последние две цифры — мини-практикум с ответами, 5 класс

Маршрут: от окончания слагаемых к проверке всей суммы

Чтобы проверить кратность суммы на 4, 25 или 100, достаточно знать последние две цифры обоих слагаемых. Но нужно учесть перенос десятков: если окончания 74 и 39, то 74 + 39 = 113, а две последние цифры суммы — 13, не 113 и не 03. Цифры перед последней парой не изменят этот вывод.

Правила для данного практикума: на 4 число делится, когда его последние две цифры образуют кратное 4; на 25 — когда оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75; на 100 — только при окончании 00. Даже если первые разряды суммы неизвестны, этих признаков достаточно. Здесь речь идёт о делимости суммы A + B, а не её отдельного слагаемого.

Ступень 1. Пять быстрых вычислений окончаний

Выполняйте устно: сложите две двузначные концовки, оставьте последние две цифры и примените нужный признак. Длина полного числа не указана — это не мешает проверить делимость.

1. У первого слагаемого последние две цифры 37, у второго — 63. Кратно ли A + B числу 100? Назовите окончание суммы.
2. У первого слагаемого последние две цифры 46, у второго — 38. Кратно ли A + B числу 4? Назовите окончание суммы.
3. У первого слагаемого последние две цифры 58, у второго — 17. Кратно ли A + B числу 25? Назовите окончание суммы.
4. У первого слагаемого последние две цифры 29, у второго — 34. Кратно ли A + B числу 4? Назовите окончание суммы.
5. У первого слагаемого последние две цифры 81, у второго — 44. Кратно ли A + B числу 25? Назовите окончание суммы.

Ступень 2. Ошибка или верно?

Каждый ответ проверяющего может быть правильным либо неправильным. Важно не только отметить ошибку, но и показать, на каком этапе она появилась: при переносе через 100 или при применении признака делимости. Не исправляйте исходные окончания, они заданы точно.

1. У A окончание 26, у B — 50. Ученик утверждает: «Сумма кратна 4». Верно ли утверждение? Если неверно, исправьте.
2. У A окончание 67, у B — 58. Ученик утверждает: «Сумма кратна 25». Верно ли утверждение? Если неверно, исправьте.
3. У A окончание 74, у B — 39. Ученик утверждает: «Сумма кратна 4». Верно ли утверждение? Если неверно, исправьте.
4. У A окончание 85, у B — 45. Ученик утверждает: «Сумма кратна 25». Верно ли утверждение? Если неверно, исправьте.

Ступень 3. Восстановите окончание второго слагаемого

В следующих заданиях окончание B записывается двумя цифрами; например, 02 означает, что число B заканчивается на 02, а не то, что само B равно двум. Среди окончаний от 00 до 99 нужно выбрать самое маленькое, удовлетворяющее условию. Нельзя выдавать 102 вместо 02, хотя остаток при делении на 100 у них одинаковый.

1. Первое слагаемое оканчивается на 38. Подберите наименьшее окончание второго от 00 до 99, чтобы сумма делилась на 4. Обоснуйте минимальность.
2. Первое слагаемое оканчивается на 47. Подберите наименьшее окончание второго от 00 до 99, чтобы сумма делилась на 25. Обоснуйте минимальность.
3. Первое слагаемое оканчивается на 86. Подберите наименьшее окончание второго от 00 до 99, чтобы сумма делилась на 100. Обоснуйте минимальность.
4. Первое слагаемое оканчивается на 59. Подберите наименьшее окончание второго от 00 до 99, чтобы сумма делилась на 4. Обоснуйте минимальность.
5. Первое слагаемое оканчивается на 23. Подберите наименьшее окончание второго от 00 до 99, чтобы сумма делилась на 25. Обоснуйте минимальность.

Ступень 4. Итоговая самостоятельная проверка

Здесь уже даны полные слагаемые. Сначала получите итог, после этого объясните кратность двумя способами: коротким по концовке и обычным делением. Если результаты не совпали, проверьте арифметику сложения.

1. Вычислите 3248 + 1776. По последним двум цифрам установите кратность суммы числу 4 и проверьте обычным делением с остатком.
2. Вычислите 6587 + 2458. По последним двум цифрам установите кратность суммы числу 25 и проверьте обычным делением с остатком.
3. Вычислите 4569 + 3531. По последним двум цифрам установите кратность суммы числу 100 и проверьте обычным делением с остатком.
4. Вычислите 7835 + 1690. По последним двум цифрам установите кратность суммы числу 25 и проверьте обычным делением с остатком.

Ключ к пяти быстрым заданиям

1. (37 + 63) mod 100 = 00. Любая такая сумма делится на 100; проверяем только две последние цифры.
2. (46 + 38) mod 100 = 84. Любая такая сумма делится на 4; проверяем только две последние цифры.
3. (58 + 17) mod 100 = 75. Любая такая сумма делится на 25; проверяем только две последние цифры.
4. (29 + 34) mod 100 = 63. Любая такая сумма не делится на 4; проверяем только две последние цифры.
5. (81 + 44) mod 100 = 25. Любая такая сумма делится на 25; проверяем только две последние цифры.

Диагностика решений из второй ступени

1. Окончание A + B: (26 + 50) mod 100 = 76. Утверждение верно: сумма кратна 4.
2. Окончание A + B: (67 + 58) mod 100 = 25. Утверждение верно: сумма кратна 25.
3. Окончание A + B: (74 + 39) mod 100 = 13. Утверждение ошибочно: сумма не кратна 4.
4. Окончание A + B: (85 + 45) mod 100 = 30. Утверждение ошибочно: сумма не кратна 25.

Восстановленные окончания и минимальность

1. Минимальное окончание второго: 02. Тогда окончание суммы 40; оно кратно 4. Меньшие окончания дают ненулевой остаток по 4.
2. Минимальное окончание второго: 03. Тогда окончание суммы 50; оно кратно 25. Меньшие окончания дают ненулевой остаток по 25.
3. Минимальное окончание второго: 14. Тогда окончание суммы 00; оно кратно 100. Меньшие окончания дают ненулевой остаток по 100.
4. Минимальное окончание второго: 01. Тогда окончание суммы 60; оно кратно 4. Меньшие окончания дают ненулевой остаток по 4.
5. Минимальное окончание второго: 02. Тогда окончание суммы 25; оно кратно 25. Меньшие окончания дают ненулевой остаток по 25.

Ответы к итоговой проверке

1. 5024; окончание 24. Сумма делится на 4; остаток при делении 0.
2. 9045; окончание 45. Сумма не делится на 25; остаток при делении 20.
3. 8100; окончание 00. Сумма делится на 100; остаток при делении 0.
4. 9525; окончание 25. Сумма делится на 25; остаток при делении 0.

Если ошибка возникла при переносе

При сумме концовок больше 99 оставляйте две последние цифры. Например, 85 + 45 = 130, значит, общая сумма заканчивается на 30. Число 30 не делится на 25, хотя каждое слагаемое заканчивается на число, которое кажется близким к 25 или 50. Складывать просто последние цифры по отдельности, забывая о переносе, нельзя.

Равенство окончаний не означает равенства полных сумм. Сумма 3248 + 1776 гораздо больше суммы 48 + 76, но у обоих результатов последние две цифры 24. Этого достаточно для делимости на 4, но недостаточно, например, для проверки кратности на 8: там нужны уже три последние цифры.

Следите за формулировкой «наименьшее окончание». Для окончания 47 и делителя 25 нужно дополнить 47 до следующего кратного 25, то есть до 50. Значит, добавить надо 03. Прибавка 28 тоже привела бы к 75, но 28 не является минимальным допустимым окончанием второго слагаемого.

Критерий самопроверки: для задач с двумя неизвестными числами достаточно показать последние две цифры, их сумму с учётом перехода через сотню и правило для делителя. Для задач с полностью известными числами нужен ещё правильный арифметический итог. Если вывод о кратности верен, но итог посчитан неверно, работу нельзя считать полностью выполненной.