Проверка линейности зависимости по трём точкам — проверочная работа, 7 класс

Практический кейс. Три экспериментальных измерения могут лежать на одной прямой, а могут не укладываться в единую линейную модель. Задача проверочной — отличать эти случаи по значениям, в том числе когда шаги x неодинаковы.

Метод исследования

Для трёх точек с попарно различными аргументами сравните два наклона: k₁ = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) и k₂ = (y₃−y₂)/(x₃−x₂). Если они равны, все три точки лежат на одной прямой. Удобная проверка без дробей: (y₂−y₁)(x₃−x₂) = (y₃−y₂)(x₂−x₁).

Если два x совпали, сначала проверьте, что им соответствует одинаковый y. Две разные величины y при одинаковом x несовместимы с функцией. Если повторяется одна и та же точка, данные содержат менее трёх различных точек: она не доказывает линейности новых наблюдений, хотя через две разные точки можно провести единственную прямую.

Разобранный прикладной пример

В лаборатории измерили объём раствора (мл) через разное время (мин): (0;15), (2;25), (7;50). Первый наклон (25−15)/(2−0)=5 мл/мин; второй (50−25)/(7−2)=5 мл/мин. Точки согласуются с моделью V = 5t + 15. Но совпадение трёх измерений с прямой не гарантирует, что природный процесс строго линеен при любых t.

Таблица исходных данных для проверочной

Задания 1–12

Для каждой строки определите, согласуются ли все наблюдения с формулой y=kx+b. Если да и имеются два различных аргумента, найдите k и b; если нет — найдите нарушающее условие. Для строки 11 отдельно объясните, что можно и чего нельзя заключить из повтора точки.

1. Стоимость печати, x — листы, y — тенге. Выполните вычисления в черновике; укажите решение и оцените осмысленность единиц.
2. Уровень воды, x — мин, y — см. Выполните вычисления в черновике; укажите решение и оцените осмысленность единиц.
3. Заряд батареи, x — часы, y — %. Выполните вычисления в черновике; укажите решение и оцените осмысленность единиц.
4. Температура, x — часы, y — °C. Выполните вычисления в черновике; укажите решение и оцените осмысленность единиц.
5. Расстояние, x — сек, y — м. Выполните вычисления в черновике; укажите решение и оцените осмысленность единиц.
6. Склад, x — дни, y — коробки. Выполните вычисления в черновике; укажите решение и оцените осмысленность единиц.
7. Производство, x — часы, y — шт.. Выполните вычисления в черновике; укажите решение и оцените осмысленность единиц.
8. Масса, x — нед., y — граммы. Выполните вычисления в черновике; укажите решение и оцените осмысленность единиц.
9. Наблюдение A, x — время, y — величина. Выполните вычисления в черновике; укажите решение и оцените осмысленность единиц.
10. Наблюдение Б, x — время, y — величина. Выполните вычисления в черновике; укажите решение и оцените осмысленность единиц.
11. Наблюдение В, x — время, y — величина. Выполните вычисления в черновике; укажите решение и оцените осмысленность единиц.
12. Пройденный путь, x — мин, y — метры. Выполните вычисления в черновике; укажите решение и оцените осмысленность единиц.

Полный ключ с обоснованиями

Самооценка и вывод

• За строку с правильным выводом и вычислением двух наклонов — 2 балла; за частично верный ход — 1. Всего 24 балла.
• 21–24: уверенное владение; 16–20: повторите неравномерный шаг x; 10–15: потренируйтесь сравнивать дроби; меньше 10: снова отработайте построение k по двум точкам.
• Если числовые значения y одинаковы при трёх различных x, это тоже линейная зависимость — постоянная функция с k=0.
• «Лежат на прямой» означает математическую совместимость наблюдений, а не доказательство физического закона за пределами исследованного интервала.

Единицы измерения: для тарифа k измеряется в тенге/лист, для уровня воды — в см/мин, для заряда — в процентных пунктах/час. В самих проверках равенства наклонов сравниваются значения в одинаковых единицах и с одинаковым определением осей.