Проверка маршрута по координатам для четырёх координатных четвертей — проверочная работа по математике, 6 класс

Проверочная работа для 6 класса. Цель — отслеживать путь по всем четырём координатным четвертям и отличать пересечение оси от попадания в четверть. Координаты обозначаются (x; y). На осях точки не относятся ни к одной четверти.

Лёгкий старт: отметьте четверти

Помните порядок по кругу против часовой стрелки, начиная справа сверху: I (+; +), II (−; +), III (−; −), IV (+; −). Укажите четверть или напишите «ось».

1. Определите положение точки (6; 2) на координатной плоскости.
2. Определите положение точки (-3; 7) на координатной плоскости.
3. Определите положение точки (-5; -1) на координатной плоскости.
4. Определите положение точки (4; -8) на координатной плоскости.
5. Определите положение точки (0; 9) на координатной плоскости.
6. Определите положение точки (8; 0) на координатной плоскости.

Развилка «верно или ошибка»

7. Верно ли высказывание: «Путь (−4; 5) → (−2; −3) идёт из II четверти в III»? Исправьте ошибку, если она есть.
8. Верно ли высказывание: «Путь (3; −7) → (−5; −4) идёт из IV четверти в II»? Исправьте ошибку, если она есть.
9. Верно ли высказывание: «Точка (0; −8) лежит в IV четверти»? Исправьте ошибку, если она есть.
10. Верно ли высказывание: «Маршрут (2; 3) → (−1; 6) → (−3; −2) посещает I, II и III четверти именно в таком порядке»? Исправьте ошибку, если она есть.
11. Верно ли высказывание: «При переходе (−6; 2) → (5; 2) меняется только знак x, а y остаётся положительным»? Исправьте ошибку, если она есть.

Ступени: проверьте маршрут целиком

В следующих пяти маршрутах перепишите последовательность четвертей. Точки на осях помечайте отдельно, не записывая их как I–IV. Каждый переход считается прямым отрезком, но задача спрашивает именно положение перечисленных вершин.

12. Определите положения вершин маршрута (2; 5) → (-2; 5) → (-4; -3) → (3; -2).
13. Определите положения вершин маршрута (-8; -4) → (2; -6) → (1; 4) → (-2; 6).
14. Определите положения вершин маршрута (5; -3) → (5; 3) → (-7; 3) → (-7; -1).
15. Определите положения вершин маршрута (-4; 2) → (-4; -2) → (6; -2) → (6; 5).
16. Определите положения вершин маршрута (3; 3) → (-1; 0) → (-2; -3) → (4; 0).

Итоговая проверка

17. Путь A(−2; 3) → B(4; 3) → C(4; −5). Назовите положение каждой вершины и объясните, почему изменение знака y меняет четверть.
18. В маршруте D(7; −2) → E(0; −2) → F(−4; −2) какое звено содержит точку, лежащую на оси? Назовите ось.
19. Ученик поставил точку (−5; 0) в III четверти. В чём неточность и какая следующая вершина (−5; −3) исправит запись?
20. Запишите собственный четырёхточечный маршрут, посещающий I → IV → III → II; для самопроверки сравните знаки координат с шаблоном (+; +), (+; −), (−; −), (−; +).

Ответы и пошаговая проверка

1. (6; 2) — I.
2. (-3; 7) — II.
3. (-5; -1) — III.
4. (4; -8) — IV.
5. (0; 9) — на оси.
6. (8; 0) — на оси.

7. Верно: (−4; 5) — II, (−2; −3) — III.
8. Неверно: (3; −7) — IV, (−5; −4) — III, а не II.
9. Неверно: x = 0, точка лежит на оси ординат.
10. Верно: (+; +) → (−; +) → (−; −), то есть I → II → III.
11. Верно: ордината 2 не меняется; первая вершина во II, вторая в I.

12. I → II → III → IV. Проверьте каждую вершину по знакам обеих координат.
13. III → IV → I → II. Проверьте каждую вершину по знакам обеих координат.
14. IV → I → II → III. Проверьте каждую вершину по знакам обеих координат.
15. II → III → IV → I. Проверьте каждую вершину по знакам обеих координат.
16. I → на оси → III → на оси. Проверьте каждую вершину по знакам обеих координат.

17. A — II, B — I, C — IV. От B до C x остаётся положительным, y меняет знак.
18. E(0; −2) лежит на оси ординат и является общей точкой двух звеньев D → E и E → F.
19. (−5; 0) — точка оси абсцисс, ни одна четверть ей не подходит. (−5; −3) — III четверть.
20. Например: (1; 2) → (3; −1) → (−2; −4) → (−5; 6). Знаки дают I → IV → III → II.

Как исправлять типичные ошибки

Если перепутаны II и IV четверти, сначала сравните знак x: отрицательный x означает левую полуплоскость. Если точка на оси попала в четверть, проверьте равенство нулю хотя бы одной координаты. Если перечисленные вершины правильны, но неверна последовательность, пройдите путь слева направо от первой стрелки к последней. Отдельно обсудите, что отрезок между вершинами может пересекать оси даже тогда, когда сами вершины на них не лежат.

Промежуточные пересечения осей: что проверяем, а что нет

При проверке последовательности вершин легко назвать, например, I → III и решить, будто путь нигде не встречается с осями. На самом деле отрезок между точками (2; 2) и (−2; −2) проходит через начало координат. Но это не отдельная записанная вершина маршрута: список вершин по-прежнему состоит из двух пунктов. Если в задании спрашивают четверти перечисленных точек, ответ I → III достаточен. Если спрашивают все пересечения осей вдоль линии движения, нужно исследовать каждый отрезок отдельно. Это разные проверки.

Ещё один пограничный случай: путь A(−3; 4) → B(0; 4) → C(3; 4) ведёт из II четверти в I через точку на оси ординат. Запись «II → I» описывает четверти крайних пунктов, но упускает положение B, поэтому полный ответ по вершинам: II → ось ординат → I. Координату B нельзя относить к II или I по соседству: нулевая абсцисса исключает принадлежность любой четверти.

Тренировка исправления: сравните (−4; −1), (−4; 1), (4; 1), (4; −1). Четверти идут III → II → I → IV. При неизменном x вертикальный переход меняет знак y, а при неизменном y горизонтальный переход меняет знак x. Этот контроль пригодится в заданиях 12–16, где проверяется маршрут, а не один разрозненный пункт. Учителю полезно отдельно оценивать классификацию каждой точки и соблюдение порядка прохождения.

Для самостоятельной взаимопроверки обменяйтесь двумя маршрутами из задания 16 или 20. Один ученик читает координаты по порядку, другой записывает знаки x и y в двух отдельных столбцах, после чего определяет четверть. Если строка содержит нуль, запись останавливают на слове «ось», а не пытаются выбрать ближайшую четверть. Затем сверяют порядок результатов. Эта простая процедура обнаруживает как ошибку знака, так и пропуск промежуточной вершины, не требуя сложных вычислений.