Проверка маршрута по координатам при отражении относительно оси абсцисс: математический практикум для 6 класса

Спорное утверждение: «Если маршрут отражён относительно оси абсцисс, достаточно поменять знак у одной конечной точки». Проверьте это на маршруте A(−3; 4) → B(2; 1) → C(5; −2): отражённый путь обязан проходить через A′(−3; −4), B′(2; −1), C′(5; 2) именно в таком порядке.

Цель: проверять весь маршрут по координатам, а не только последнее положение. Запись (x; y) означает сначала абсциссу, затем ординату. В доказательстве пригодятся равенство расстояний до оси и сохранение порядка вершин. Задания рассчитаны на шестой класс и выполняются по клетчатой бумаге или по записи точек.

Почему работает правило отражения

Ось абсцисс — горизонтальная прямая y = 0. При отражении каждая точка (x; y) превращается в (x; −y): x не меняется, модуль y сохраняется, а сторона относительно оси меняется. Если y = 0, точка остаётся на месте. Например, D(−7; 0) = D′(−7; 0), а E(0; −6) переходит в E′(0; 6).

Для отрезка PQ обе отражённые вершины P′ и Q′ должны быть отмечены, и отражённый отрезок соединяет их. Поэтому маршрут из нескольких звеньев отражают поэтапно. При движении вправо или влево горизонтальная составляющая шага сохраняется, а вертикальная меняет знак: шаг (3; −2) становится (3; 2). Это даёт способ проверки без рисунка.

Задания с обязательным обоснованием

1. Маршрут A(−4; 3) → B(1; 5) → C(4; −1). Запишите все его отражённые вершины и объясните, что изменилось. Дайте ответ и поясните его.
2. Для пути P(2; −6) → Q(2; 0) → R(−3; 4) ученик написал P′(−2; 6), Q′(2; 0), R′(3; −4). Найдите ошибки. Дайте ответ и поясните его.
3. Отражение пути K(−5; 0) → L(0; −2) → M(3; 0). Какие вершины останутся на месте? Дайте ответ и поясните его.
4. Исходные точки T(−1; 7) → U(4; 7) → V(4; 2). Докажите, что после отражения первое звено горизонтально, второе вертикально. Дайте ответ и поясните его.
5. Путь F(0; 5) → G(−2; 1) → H(−4; −3). Верна ли запись F′(0; −5) → G′(−2; −1) → H′(−4; 3)? Дайте ответ и поясните его.
6. Можно ли при отражении заменить маршрут A(−2; 1) → B(3; −4) на B′(3; 4) → A′(−2; −1)? Дайте ответ и поясните его.
7. Маршрут C(−6; −2) → D(−1; −2) → E(−1; 3). Каким станет вертикальный шаг D → E? Дайте ответ и поясните его.
8. Проверьте утверждение: после отражения путь N(1; −3) → O(5; −3) сохранил длину 4 клетки. Дайте ответ и поясните его.
9. Маршрут W(−3; 2) → X(−3; −2) пересекает ось абсцисс. Где ось пересекает исходный и отражённый отрезки? Дайте ответ и поясните его.
10. Найдите исходный маршрут, если отражённый равен A′(−2; −5) → B′(1; 0) → C′(6; 4). Дайте ответ и поясните его.
11. При отражении путь S(2; 4) → T(5; 1) имеет горизонтальный шаг +3 и вертикальный шаг −3. Какие шаги будут у отражённого пути? Дайте ответ и поясните его.
12. У маршрута E(−4; −4) → F(0; 0) → G(4; 4) отражение записали как E′(−4; 4) → F′(0; 0) → G′(4; −4). Сохранилась ли точка прохождения начала координат? Дайте ответ и поясните его.
13. Сравните два пути A(−1; 2) → B(3; 2) и A′(−1; −2) → B′(3; −2). Найдите расстояние от каждого из них до оси. Дайте ответ и поясните его.

Разбор и доказательства для проверки

1. A′(−4; −3), B′(1; −5), C′(4; 1). У всех точек x остался прежним, y сменил знак.
2. P′(2; 6), Q′(2; 0), R′(−3; −4). Менять знак x нельзя: у P и R перепутаны абсциссы.
3. K и M лежат на y = 0, поэтому K′ = K, M′ = M; L′(0; 2).
4. T′(−1; −7), U′(4; −7), V′(4; −2). У T′ и U′ совпадает y; у U′ и V′ совпадает x.
5. Да. Для всех трёх вершин выполнено (x; y) → (x; −y), порядок сохранён.
6. Нет, геометрически отрезок совпадёт, но направление обхода и начальная точка изменятся. Отражённый маршрут идёт от A′ к B′.
7. Был шаг (0; 5), станет (0; −5); D′(−1; 2), E′(−1; −3).
8. Верно: N′(1; 3), O′(5; 3). Горизонтальное расстояние равно 5 − 1 = 4 до и после отражения.
9. Оба отрезка пересекают y = 0 в точке (−3; 0), которая при отражении остаётся на месте.
10. A(−2; 5) → B(1; 0) → C(6; −4). Повторное отражение возвращает исходные координаты.
11. Горизонтальный +3 не меняется; вертикальный становится +3, потому что S′(2; −4), T′(5; −1).
12. Да. F лежит в начале координат и остаётся на месте; отражённый маршрут тоже проходит через (0; 0).
13. У всех четырёх вершин |y| = 2. Оба горизонтальных звена расположены на расстоянии 2 клетки от оси, по разные стороны.

Особые случаи, которые решают спор

• Точка на оси не перемещается; для неё −0 = 0.
• Маршрут по оси целиком совпадает со своим отражением.
• Пересечение оси сохраняется в той же точке, но верхняя и нижняя части отрезка меняются местами.
• Обратимость: если отразить путь дважды, каждая вершина вернётся в исходное положение.
• Контроль без чертежа: для каждой пары исходной и новой вершины сравните x и сумму их y; первая должна совпасть, сумма должна равняться нулю.

Для оценивания удобно выделить в каждом ответе два действия: получить координаты всех вершин и объяснить, почему путь отражён правильно. Если координаты крайних точек верны, но пропущена промежуточная вершина или перевёрнуто направление, маршрут не считается проверенным. В самостоятельном решении достаточно одного точного аргумента — равенства x и противоположности y — для каждой соответствующей пары.

Проверка сомнительного маршрута без рисунка

Рассмотрим путь A(−5; 4) → B(−1; 4) → C(−1; −3). Если в предложенном ответе записаны A′(−5; −4), B′(−1; −4), C′(−1; 3), он верен: все x сохранены, а каждый y заменён на противоположный. Теперь представьте, что вместо B′ указано B′(1; −4). Хотя ордината верная, этот путь уже не зеркален: длина первого горизонтального звена в исходном маршруте равна четырём клеткам, а в ошибочном — шести. Такую ошибку ловят одновременно проверка пар координат и проверка звеньев.

Вопрос для обсуждения: можно ли доказать правильность отражения только совпадением общей длины двух маршрутов? Нет: разные пути могут иметь одинаковую длину, а пропущенная промежуточная вершина иногда не меняет сумму длин. Надёжный критерий строже: каждой исходной вершине должна соответствовать отражённая точка, вершины идут в том же порядке, а соседние точки соединены так же. В задачах на доказательство отметьте это явно, даже если чертёж выглядит симметричным.