Проверка математического ожидания по таблице с неизвестной суммой вероятностей — диагностика ошибок, 11 класс

Класс: 11. Цель: обнаруживать неполное или невозможное распределение и проверять расчёт E(X) после нормировки.

Неизвестное q — не произвольная величина. Для полной таблицы дискретного распределения все вероятности неотрицательны и суммируются в 1. Сначала восстанавливают недостающую вероятность и лишь затем вычисляют математическое ожидание.

Памятка для печати

Порядок действий: (1) сложите все известные вероятности; (2) найдите q = 1 − сумма известных; (3) проверьте 0 ≤ q ≤ 1; (4) умножьте каждое значение X на его вероятность; (5) сложите произведения. Если сумма известных вероятностей больше 1, такой закон распределения невозможен. Нельзя автоматически делить вероятности на сумму: это заменило бы условие другой моделью.

Вариант А: восстановите недостающее значение

1. X	-2	0	5
   P	1/5	1/2	q

   Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

2. X	1	4	9
   P	3/10	1/4	q

   Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

3. X	-4	2	6
   P	2/5	1/3	q

   Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

4. X	0	3	8
   P	3/4	1/3	q

   Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. Если автор предлагает E(X) = 0, найдите ошибку.

5. X	-3	1	7
   P	1/6	1/2	q

   Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

6. X	2	5	11
   P	3/8	1/4	q

   Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

7. X	-7	-1	5
   P	1/7	3/7	q

   Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

8. X	1	3	12
   P	5/8	1/8	q

   Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. Если автор предлагает E(X) = 0, найдите ошибку.

9. X	-2	3	10
   P	7/10	2/5	q

   Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

Вариант Б: ищем неверные строки

10. X	0	5	15
    P	1/4	1/2	q

    Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

11. X	-5	0	10
    P	2/9	4/9	q

    Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

12. X	-6	2	8
    P	1/3	1/6	q

    Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. Если автор предлагает E(X) = 0, найдите ошибку.

13. X	1	6	14
    P	5/6	1/4	q

    Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

14. X	-2	4	13
    P	3/10	1/2	q

    Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

15. X	3	7	11
    P	1/5	2/5	q

    Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

16. X	0	9	18
    P	2/7	3/7	q

    Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. Если автор предлагает E(X) = 0, найдите ошибку.

17. X	-8	2	12
    P	5/12	1/3	q

    Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

18. X	2	8	20
    P	7/8	1/4	q

    Найдите q, выясните, является ли таблица допустимым распределением, затем проверьте математическое ожидание. При недопустимой таблице объясните, почему E(X) вычислять нельзя.

Ключ учителя: вычисления и диагностика

1. № 1. q = 1 − 1/5 − 1/2 = 3/10. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = -2·1/5 + 0·1/2 + 5·3/10 = 11/10.
2. № 2. q = 1 − 3/10 − 1/4 = 9/20. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = 1·3/10 + 4·1/4 + 9·9/20 = 107/20.
3. № 3. q = 1 − 2/5 − 1/3 = 4/15. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = -4·2/5 + 2·1/3 + 6·4/15 = 2/3.
4. № 4. q = 1 − 3/4 − 1/3 = -1/12 < 0. Вероятности отрицательными не бывают; таблица невозможна, математическое ожидание не определено.
5. № 5. q = 1 − 1/6 − 1/2 = 1/3. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = -3·1/6 + 1·1/2 + 7·1/3 = 7/3.
6. № 6. q = 1 − 3/8 − 1/4 = 3/8. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = 2·3/8 + 5·1/4 + 11·3/8 = 49/8.
7. № 7. q = 1 − 1/7 − 3/7 = 3/7. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = -7·1/7 + -1·3/7 + 5·3/7 = 5/7.
8. № 8. q = 1 − 5/8 − 1/8 = 1/4. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = 1·5/8 + 3·1/8 + 12·1/4 = 4.
9. № 9. q = 1 − 7/10 − 2/5 = -1/10 < 0. Вероятности отрицательными не бывают; таблица невозможна, математическое ожидание не определено.
10. № 10. q = 1 − 1/4 − 1/2 = 1/4. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = 0·1/4 + 5·1/2 + 15·1/4 = 25/4.
11. № 11. q = 1 − 2/9 − 4/9 = 1/3. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = -5·2/9 + 0·4/9 + 10·1/3 = 20/9.
12. № 12. q = 1 − 1/3 − 1/6 = 1/2. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = -6·1/3 + 2·1/6 + 8·1/2 = 7/3.
13. № 13. q = 1 − 5/6 − 1/4 = -1/12 < 0. Вероятности отрицательными не бывают; таблица невозможна, математическое ожидание не определено.
14. № 14. q = 1 − 3/10 − 1/2 = 1/5. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = -2·3/10 + 4·1/2 + 13·1/5 = 4.
15. № 15. q = 1 − 1/5 − 2/5 = 2/5. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = 3·1/5 + 7·2/5 + 11·2/5 = 39/5.
16. № 16. q = 1 − 2/7 − 3/7 = 2/7. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = 0·2/7 + 9·3/7 + 18·2/7 = 9.
17. № 17. q = 1 − 5/12 − 1/3 = 1/4. Все три вероятности неотрицательны и в сумме дают 1. E(X) = -8·5/12 + 2·1/3 + 12·1/4 = 1/3.
18. № 18. q = 1 − 7/8 − 1/4 = -1/8 < 0. Вероятности отрицательными не бывают; таблица невозможна, математическое ожидание не определено.

Ошибки, которые необходимо объяснить

Ошибка «сумма вероятностей не важна» приводит к величинам, которые не являются вероятностным законом. Ошибка «q = сумма известных» игнорирует нормировку. Ошибка «E(X) — просто сумма результатов» забывает веса. В задачах с отрицательными значениями X также нельзя удалять знак минус.

Неизвестная вероятность: какие ответы допустимы

Значение q = 0 не нарушает закон распределения: соответствующий исход просто невозможен. Значение q = 1 означает, что вся вероятность приходится на одно значение, а другие должны иметь вероятность 0. Напротив, отрицательное q указывает на противоречие исходной таблицы. Если q = 1 − a − b, проверять надо не только найденное число, но и правильность исходных a и b: каждое должно находиться между 0 и 1.

Проверка чужого решения

Встречается попытка вычислить ожидание, заранее назначив неизвестному q произвольное значение, например 0,5. Такой ответ может случайно выглядеть правдоподобным, но не следует из условий. Правильно сначала восстановить вероятность из нормировки, затем получить E(X) и в конце оценить его разумность. Для корректного распределения ожидание не может быть меньше минимального значения X и больше максимального: это удобная дополнительная проверка.

Варианты ниже специально содержат возможные и невозможные таблицы. В невозможном случае не стоит «исправлять» условие на своё усмотрение и выдавать полученное ожидание за ответ. Следует чётко назвать конфликт и объяснить, какое из требований нарушено. Если же вероятности допустимы, обязательно показать все произведения, включая вклад исхода с нулевой вероятностью, если он есть.