Проверка математического ожидания при нескольких одинаковых исходах: карточки с ответами, 11 класс

Класс: 11. Цель: проверять математическое ожидание, учитывая кратность одинаковых результатов, в том числе отрицательные выигрыши.

Начните с трёх коротких проверок. Предполагается, что перечисленные билеты или исходы равновозможны; если это не так, простое среднее использовать нельзя.

Три контрольных вопроса

1. № 1. Найдите математическое ожидание результата. Равновозможные результаты: -3, -3, 1, 1, 1, 5.
2. № 2. Назовите все различные значения X и их вероятности, затем вычислите E(X). Равновозможные результаты: 0, 0, 0, 2, 2, 6.
3. № 3. Проверьте ответ «среднее разных строк таблицы» и вычислите E(X). Равновозможные результаты: 1, 1, 4, 4, 4, 4.

Самостоятельные карточки

4. № 4. Найдите математическое ожидание результата. Равновозможные результаты: -2, 0, 0, 0, 6.
5. № 5. Найдите математическое ожидание результата. Равновозможные результаты: 3, 3, 3, 3, 7, 7, 7.
6. № 6. Проверьте ответ «среднее разных строк таблицы» и вычислите E(X). Равновозможные результаты: -5, -5, 2, 2, 2, 4.
7. № 7. Назовите все различные значения X и их вероятности, затем вычислите E(X). Равновозможные результаты: 0, 1, 1, 1, 1, 8.
8. № 8. Найдите математическое ожидание результата. Равновозможные результаты: 2, 2, 2, 5, 5, 8, 8, 8.
9. № 9. Назовите все различные значения X и их вероятности, затем вычислите E(X). Равновозможные результаты: 1, 1, 1, 1, 6, 6.
10. № 10. Найдите математическое ожидание результата. Равновозможные результаты: -4, -4, -1, 3, 3, 3, 3.
11. № 11. Проверьте ответ «среднее разных строк таблицы» и вычислите E(X). Равновозможные результаты: 5, 5, 5, 5, 0, 0, 0, 0.
12. № 12. Найдите математическое ожидание результата. Равновозможные результаты: 1, 2, 2, 2, 9, 9, 9.

Быстрый ключ с расчётами

1. № 1. -3×2+1×3+5×1 = 2; E(X) = 2/6 = 1/3. Слагаемые с одинаковым результатом можно сгруппировать без изменения суммы.
2. № 2. 0×3+2×2+6×1 = 10; E(X) = 10/6 = 5/3. Вероятность каждого значения равна его кратности, делённой на 6.
3. № 3. 1×2+4×4 = 18; E(X) = 18/6 = 3. Вероятность каждого значения равна его кратности, делённой на 6.
4. № 4. -2×1+0×3+6×1 = 4; E(X) = 4/5 = 4/5. Слагаемые с одинаковым результатом можно сгруппировать без изменения суммы.
5. № 5. 3×4+7×3 = 33; E(X) = 33/7 = 33/7. Слагаемые с одинаковым результатом можно сгруппировать без изменения суммы.
6. № 6. -5×2+2×3+4×1 = 0; E(X) = 0/6 = 0. Вероятность каждого значения равна его кратности, делённой на 6.
7. № 7. 0×1+1×4+8×1 = 12; E(X) = 12/6 = 2. Вероятность каждого значения равна его кратности, делённой на 6.
8. № 8. 2×3+5×2+8×3 = 40; E(X) = 40/8 = 5. Слагаемые с одинаковым результатом можно сгруппировать без изменения суммы.
9. № 9. 1×4+6×2 = 16; E(X) = 16/6 = 8/3. Вероятность каждого значения равна его кратности, делённой на 6.
10. № 10. -4×2+-1×1+3×4 = 3; E(X) = 3/7 = 3/7. Слагаемые с одинаковым результатом можно сгруппировать без изменения суммы.
11. № 11. 0×4+5×4 = 20; E(X) = 20/8 = 5/2. Вероятность каждого значения равна его кратности, делённой на 8.
12. № 12. 1×1+2×3+9×3 = 34; E(X) = 34/7 = 34/7. Слагаемые с одинаковым результатом можно сгруппировать без изменения суммы.

Главная ловушка: среднее арифметическое уникальных значений не равно E(X), если значения встречаются с разной частотой. Например, при результатах 1, 1, 1, 5 математическое ожидание равно 2, а не 3. Если у исходов разные вероятности, нужна сумма x·P(X=x).

Как проверить повторяющиеся результаты двумя способами

Способ первый — сложить все перечисленные результаты, включая повторения, и разделить на количество равновозможных билетов. Способ второй — сгруппировать одинаковые результаты: умножить каждое значение на число его повторений, сложить произведения и вновь разделить на число билетов. Если оба способа выполнены без ошибок, ответы совпадут. Это полезная взаимная проверка при отрицательных баллах.

Для значений −2, −2, 1, 7 математическое ожидание составляет (−2 − 2 + 1 + 7)/4 = 1. Если взять только уникальные значения −2, 1 и 7, получится 2, что неверно: отрицательный исход встречается вдвое чаще каждого другого. Математическое ожидание может быть дробным числом, отсутствующим среди возможных исходов, и не обязано совпадать с самым частым значением.

Самостоятельная проверка решения: посчитайте, сколько всего билетов в каждой строке; убедитесь, что одинаковые значения не были выброшены; сохраните знак выигрыша или потери; только после получения суммы сокращайте дробь. Если случайные исходы неравновозможны, вместо простого среднего надо использовать взвешенную сумму — это уже другая постановка.