Проверка математического ожидания при округлении вероятностей: упражнения разной сложности, 11 класс

Класс: 11. Цель: выявлять ошибки математического ожидания, вызванные преждевременным округлением и неверной нормировкой вероятностей.

Сначала исследуйте чужую ошибку: три точные вероятности могут в сумме давать 1, тогда как их округления до сотых дают 0,99 или 1,01. Это не обязательно означает, что исходное распределение неверно. Важное правило — не округлять промежуточные вычисления, пока есть точные данные.

Содержание статьи5 разделов

Пять типичных ошибок для разбора

  1. «Если после округления сумма равна 0,99, то утеряно 1 % исходов». Ошибка: потери могли возникнуть только из-за округления каждой строки.
  2. «Округлённое ожидание можно назвать точным». Ошибка: произведения вероятностей на значения меняются.
  3. «Нужно безусловно поделить округлённые вероятности на их сумму». Ошибка: так мы вводим ещё одно приближение и меняем заданный расчёт.
  4. «Погрешность E зависит только от числа строк». Ошибка: величины значений X тоже важны.
  5. «При отрицательном результате приближение всегда занижает ожидание». Ошибка: знак разности надо вычислять, заранее он неизвестен.

Практикум: вычисления в двух точностях

  1. Значение X -4 0 8
    Точная P 0,204 0,331 0,465
    P после округления 0,20 0,33 0,47

    Ситуация 1. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Ученик утверждает: «если округлённая сумма не равна 1, исходная таблица неверна». Проверьте его.

  2. Значение X -7 2 9
    Точная P 0,126 0,337 0,537
    P после округления 0,13 0,34 0,54

    Ситуация 2. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Оцените, допустимо ли называть приближённый ответ точным.

  3. Значение X -10 1 6
    Точная P 0,187 0,276 0,537
    P после округления 0,19 0,28 0,54

    Ситуация 3. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Оцените, допустимо ли называть приближённый ответ точным.

  4. Значение X 0 6 13
    Точная P 0,354 0,209 0,437
    P после округления 0,35 0,21 0,44

    Ситуация 4. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Ученик утверждает: «если округлённая сумма не равна 1, исходная таблица неверна». Проверьте его.

  5. Значение X -5 3 11
    Точная P 0,113 0,443 0,444
    P после округления 0,11 0,44 0,44

    Ситуация 5. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Оцените, допустимо ли называть приближённый ответ точным.

  6. Значение X -8 5 14
    Точная P 0,246 0,327 0,427
    P после округления 0,25 0,33 0,43

    Ситуация 6. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Оцените, допустимо ли называть приближённый ответ точным.

  7. Значение X 1 4 12
    Точная P 0,319 0,278 0,403
    P после округления 0,32 0,28 0,40

    Ситуация 7. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Ученик утверждает: «если округлённая сумма не равна 1, исходная таблица неверна». Проверьте его.

  8. Значение X -9 0 15
    Точная P 0,457 0,164 0,379
    P после округления 0,46 0,16 0,38

    Ситуация 8. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Оцените, допустимо ли называть приближённый ответ точным.

Закрепление: сравниваем ошибки и делаем вывод

  1. Значение X -6 2 17
    Точная P 0,293 0,316 0,391
    P после округления 0,29 0,32 0,39

    Ситуация 9. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Оцените, допустимо ли называть приближённый ответ точным.

  2. Значение X -3 8 18
    Точная P 0,142 0,398 0,460
    P после округления 0,14 0,40 0,46

    Ситуация 10. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Ученик утверждает: «если округлённая сумма не равна 1, исходная таблица неверна». Проверьте его.

  3. Значение X -12 1 20
    Точная P 0,338 0,227 0,435
    P после округления 0,34 0,23 0,44

    Ситуация 11. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Оцените, допустимо ли называть приближённый ответ точным.

  4. Значение X 0 7 16
    Точная P 0,416 0,143 0,441
    P после округления 0,42 0,14 0,44

    Ситуация 12. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Оцените, допустимо ли называть приближённый ответ точным.

  5. Значение X -2 9 21
    Точная P 0,264 0,373 0,363
    P после округления 0,26 0,37 0,36

    Ситуация 13. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Ученик утверждает: «если округлённая сумма не равна 1, исходная таблица неверна». Проверьте его.

  6. Значение X -11 3 19
    Точная P 0,384 0,217 0,399
    P после округления 0,38 0,22 0,40

    Ситуация 14. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Оцените, допустимо ли называть приближённый ответ точным.

  7. Значение X -4 5 23
    Точная P 0,273 0,284 0,443
    P после округления 0,27 0,28 0,44

    Ситуация 15. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Оцените, допустимо ли называть приближённый ответ точным.

  8. Значение X -15 6 24
    Точная P 0,327 0,295 0,378
    P после округления 0,33 0,30 0,38

    Ситуация 16. Вычислите точное E(X), затем приближённое по округлённым вероятностям, сравните результаты. Ученик утверждает: «если округлённая сумма не равна 1, исходная таблица неверна». Проверьте его.

Ответы, точные значения и погрешности

  1. № 1. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = -4·204/1000 + 0·331/1000 + 8·465/1000 = 363/125 (2,904). По округлённым данным Eприбл = 2,96; сумма округлённых P = 1,00. Абсолютное расхождение = 0,056. Округлённая сумма здесь случайно сохранила единицу, но отдельные слагаемые всё равно изменились.
  2. № 2. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = -7·126/1000 + 2·337/1000 + 9·537/1000 = 37/8 (4,625). По округлённым данным Eприбл = 4,63; сумма округлённых P = 1,01. Абсолютное расхождение = 0,005. Даже если округлённая сумма не равна единице, исходные вероятности корректны: проверьте точную сумму 1000/1000.
  3. № 3. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = -10·187/1000 + 1·276/1000 + 6·537/1000 = 407/250 (1,628). По округлённым данным Eприбл = 1,62; сумма округлённых P = 1,01. Абсолютное расхождение = 0,008. Даже если округлённая сумма не равна единице, исходные вероятности корректны: проверьте точную сумму 1000/1000.
  4. № 4. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = 0·354/1000 + 6·209/1000 + 13·437/1000 = 1387/200 (6,935). По округлённым данным Eприбл = 6,98; сумма округлённых P = 1,00. Абсолютное расхождение = 0,045. Округлённая сумма здесь случайно сохранила единицу, но отдельные слагаемые всё равно изменились.
  5. № 5. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = -5·113/1000 + 3·443/1000 + 11·444/1000 = 706/125 (5,648). По округлённым данным Eприбл = 5,61; сумма округлённых P = 0,99. Абсолютное расхождение = 0,038. Даже если округлённая сумма не равна единице, исходные вероятности корректны: проверьте точную сумму 1000/1000.
  6. № 6. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = -8·246/1000 + 5·327/1000 + 14·427/1000 = 1129/200 (5,645). По округлённым данным Eприбл = 5,67; сумма округлённых P = 1,01. Абсолютное расхождение = 0,025. Даже если округлённая сумма не равна единице, исходные вероятности корректны: проверьте точную сумму 1000/1000.
  7. № 7. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = 1·319/1000 + 4·278/1000 + 12·403/1000 = 6267/1000 (6,267). По округлённым данным Eприбл = 6,24; сумма округлённых P = 1,00. Абсолютное расхождение = 0,027. Округлённая сумма здесь случайно сохранила единицу, но отдельные слагаемые всё равно изменились.
  8. № 8. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = -9·457/1000 + 0·164/1000 + 15·379/1000 = 393/250 (1,572). По округлённым данным Eприбл = 1,56; сумма округлённых P = 1,00. Абсолютное расхождение = 0,012. Округлённая сумма здесь случайно сохранила единицу, но отдельные слагаемые всё равно изменились.
  9. № 9. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = -6·293/1000 + 2·316/1000 + 17·391/1000 = 5521/1000 (5,521). По округлённым данным Eприбл = 5,53; сумма округлённых P = 1,00. Абсолютное расхождение = 0,009. Округлённая сумма здесь случайно сохранила единицу, но отдельные слагаемые всё равно изменились.
  10. № 10. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = -3·142/1000 + 8·398/1000 + 18·460/1000 = 5519/500 (11,038). По округлённым данным Eприбл = 11,06; сумма округлённых P = 1,00. Абсолютное расхождение = 0,022. Округлённая сумма здесь случайно сохранила единицу, но отдельные слагаемые всё равно изменились.
  11. № 11. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = -12·338/1000 + 1·227/1000 + 20·435/1000 = 4871/1000 (4,871). По округлённым данным Eприбл = 4,95; сумма округлённых P = 1,01. Абсолютное расхождение = 0,079. Даже если округлённая сумма не равна единице, исходные вероятности корректны: проверьте точную сумму 1000/1000.
  12. № 12. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = 0·416/1000 + 7·143/1000 + 16·441/1000 = 8057/1000 (8,057). По округлённым данным Eприбл = 8,02; сумма округлённых P = 1,00. Абсолютное расхождение = 0,037. Округлённая сумма здесь случайно сохранила единицу, но отдельные слагаемые всё равно изменились.
  13. № 13. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = -2·264/1000 + 9·373/1000 + 21·363/1000 = 2613/250 (10,452). По округлённым данным Eприбл = 10,37; сумма округлённых P = 0,99. Абсолютное расхождение = 0,082. Даже если округлённая сумма не равна единице, исходные вероятности корректны: проверьте точную сумму 1000/1000.
  14. № 14. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = -11·384/1000 + 3·217/1000 + 19·399/1000 = 501/125 (4,008). По округлённым данным Eприбл = 4,08; сумма округлённых P = 1,00. Абсолютное расхождение = 0,072. Округлённая сумма здесь случайно сохранила единицу, но отдельные слагаемые всё равно изменились.
  15. № 15. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = -4·273/1000 + 5·284/1000 + 23·443/1000 = 10517/1000 (10,517). По округлённым данным Eприбл = 10,44; сумма округлённых P = 0,99. Абсолютное расхождение = 0,077. Даже если округлённая сумма не равна единице, исходные вероятности корректны: проверьте точную сумму 1000/1000.
  16. № 16. Сумма точных вероятностей равна 1. Eточн = -15·327/1000 + 6·295/1000 + 24·378/1000 = 5937/1000 (5,937). По округлённым данным Eприбл = 5,97; сумма округлённых P = 1,01. Абсолютное расхождение = 0,033. Даже если округлённая сумма не равна единице, исходные вероятности корректны: проверьте точную сумму 1000/1000.

Как проверить округление без калькулятора

При округлении одной вероятности до сотых модуль ошибки не превышает 0,005. Для трёх значений x₁, x₂, x₃ консервативная оценка ошибки математического ожидания — 0,005·(|x₁| + |x₂| + |x₃|). Это верхняя граница, а не фактическая ошибка. В задачах выше точные вероятности даны до тысячных, и лучше считать с ними до последней операции.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым