Проверка математического ожидания при сравнении двух стратегий — тренажёр для 11 класса

Класс: 11. Цель: вычислять и критически сравнивать математическое ожидание двух стратегий с разными результатами.

Два способа выполнения школьного проекта дают разные баллы при удаче и неудаче. Какой способ лучше в среднем? Начальное наблюдение: высокая вероятность удачи не обязательно означает большее математическое ожидание, потому что размер выигрыша и потери тоже имеет значение.

Содержание статьи8 разделов

Исследование: сформулируйте правило

План Баллы Вероятность
Спокойный +4 1
Рискованный +20 или −3 1/5 и 4/5

У спокойного плана ожидание 4; у рискованного — 20·1/5 + (−3)·4/5 = 8/5. Высокий возможный выигрыш 20 не делает второй план выгоднее по среднему. Сформулируйте правило: сравнивать суммы всех результатов, взвешенных по их вероятностям.

Серия наблюдений и самостоятельных выводов

  1. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 8 3/4 -4 1/4
    Б 14 2/5 -1 3/5

    Ситуация 1. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

  2. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 7 1/2 -2 1/2
    Б 6 3/4 -3 1/4

    Ситуация 2. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

  3. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 12 1/4 0 3/4
    Б 5 3/5 1 2/5

    Ситуация 3. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

  4. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 15 2/5 -5 3/5
    Б 10 1/2 -1 1/2

    Ситуация 4. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

  5. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 9 2/3 0 1/3
    Б 13 1/3 2 2/3

    Ситуация 5. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

  6. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 16 1/4 -4 3/4
    Б 7 3/4 -2 1/4

    Ситуация 6. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

  7. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 5 4/5 -1 1/5
    Б 8 1/2 0 1/2

    Ситуация 7. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

Контрпримеры: исправьте поспешные выводы

  1. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 18 1/3 -3 2/3
    Б 11 1/2 -1 1/2

    Ситуация 8. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

  2. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 6 3/5 2 2/5
    Б 10 2/5 0 3/5

    Ситуация 9. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

  3. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 20 1/5 -2 4/5
    Б 9 1/2 1 1/2

    Ситуация 10. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

  4. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 8 2/5 -3 3/5
    Б 6 2/3 -1 1/3

    Ситуация 11. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

  5. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 14 1/2 0 1/2
    Б 12 3/4 -2 1/4

    Ситуация 12. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

  6. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 7 5/6 -5 1/6
    Б 15 1/3 0 2/3

    Ситуация 13. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

  7. План При удаче (баллы) Вероятность удачи При неудаче (баллы) Вероятность неудачи
    А 11 2/3 -4 1/3
    Б 9 3/4 -5 1/4

    Ситуация 14. Найдите E(А) и E(Б), выберите план по наибольшему математическому ожиданию и объясните, почему выбор только по вероятности удачи может быть неверным.

Развёрнутые решения и критерии выбора

  1. № 1. E(А) = 8·3/4 + (-4)·1/4 = 5; E(Б) = 14·2/5 + (-1)·3/5 = 5. По среднему результату: ничья. Оба математических ожидания равны; за ними может скрываться разный риск.
  2. № 2. E(А) = 7·1/2 + (-2)·1/2 = 5/2; E(Б) = 6·3/4 + (-3)·1/4 = 15/4. По среднему результату: B. Преимущество по ожиданию: 5/4 балла.
  3. № 3. E(А) = 12·1/4 + (0)·3/4 = 3; E(Б) = 5·3/5 + (1)·2/5 = 17/5. По среднему результату: B. Преимущество по ожиданию: 2/5 балла.
  4. № 4. E(А) = 15·2/5 + (-5)·3/5 = 3; E(Б) = 10·1/2 + (-1)·1/2 = 9/2. По среднему результату: B. Преимущество по ожиданию: 3/2 балла.
  5. № 5. E(А) = 9·2/3 + (0)·1/3 = 6; E(Б) = 13·1/3 + (2)·2/3 = 17/3. По среднему результату: A. Преимущество по ожиданию: 1/3 балла.
  6. № 6. E(А) = 16·1/4 + (-4)·3/4 = 1; E(Б) = 7·3/4 + (-2)·1/4 = 19/4. По среднему результату: B. Преимущество по ожиданию: 15/4 балла.
  7. № 7. E(А) = 5·4/5 + (-1)·1/5 = 19/5; E(Б) = 8·1/2 + (0)·1/2 = 4. По среднему результату: B. Преимущество по ожиданию: 1/5 балла.
  8. № 8. E(А) = 18·1/3 + (-3)·2/3 = 4; E(Б) = 11·1/2 + (-1)·1/2 = 5. По среднему результату: B. Преимущество по ожиданию: 1 балла.
  9. № 9. E(А) = 6·3/5 + (2)·2/5 = 22/5; E(Б) = 10·2/5 + (0)·3/5 = 4. По среднему результату: A. Преимущество по ожиданию: 2/5 балла.
  10. № 10. E(А) = 20·1/5 + (-2)·4/5 = 12/5; E(Б) = 9·1/2 + (1)·1/2 = 5. По среднему результату: B. Преимущество по ожиданию: 13/5 балла.
  11. № 11. E(А) = 8·2/5 + (-3)·3/5 = 7/5; E(Б) = 6·2/3 + (-1)·1/3 = 11/3. По среднему результату: B. Преимущество по ожиданию: 34/15 балла.
  12. № 12. E(А) = 14·1/2 + (0)·1/2 = 7; E(Б) = 12·3/4 + (-2)·1/4 = 17/2. По среднему результату: B. Преимущество по ожиданию: 3/2 балла.
  13. № 13. E(А) = 7·5/6 + (-5)·1/6 = 5; E(Б) = 15·1/3 + (0)·2/3 = 5. По среднему результату: ничья. Оба математических ожидания равны; за ними может скрываться разный риск.
  14. № 14. E(А) = 11·2/3 + (-4)·1/3 = 6; E(Б) = 9·3/4 + (-5)·1/4 = 11/2. По среднему результату: A. Преимущество по ожиданию: 1/2 балла.

Итог исследователя

Математическое ожидание — средний результат в идеализированной модели при большом числе повторений, а не гарантированный исход одной попытки. При одинаковых ожиданиях по одному этому критерию выбрать план нельзя: нужна дополнительная информация о риске. Если наблюдаемые частоты использованы вместо истинных вероятностей, вывод остаётся оценкой.

Почему наиболее частый успех не всегда выгоднее

Представьте две учебные стратегии: первая приносит два балла наверняка; вторая приносит десять баллов с вероятностью 1/4 и ноль иначе. Математическое ожидание первой равно 2, а второй — 10·1/4 = 2,5. У первой шанс положительного результата выше, но по среднему числу баллов немного выгоднее вторая. Это различие появляется именно потому, что ожидание учитывает и вероятность, и величину результата.

Порядок исследования для каждой карточки

Запишите возможные исходы отдельно для каждой стратегии. Убедитесь, что сумма вероятностей успеха и неудачи равна единице. Для каждого исхода перемножьте балл и вероятность, не теряя знака отрицательной оценки. Сложите произведения и сравните полученные ожидания как обычные числа. Если ожидания совпали, не придумывайте победителя: формально этот критерий не различает стратегии.

При реальном принятии решения могут быть важны не только средние баллы. Две стратегии с одинаковым ожиданием способны резко различаться размером проигрыша: не всем учащимся одинаково допустим риск низкого результата за одну контрольную. Поэтому заключение «лучше по ожиданию» намеренно ограничено математическим критерием и не заменяет анализ других последствий.

Обратная проверка и объяснение вывода

Если известны вероятность удачи p, выигрыш W и результат неудачи L, используйте E = pW + (1 − p)L. В ответе полезно объяснить, какая часть ожидания вызвана удачей, а какая — неудачей. При изменении вероятности успеха на небольшую величину Δp ожидание меняется на Δp·(W − L). Отсюда видно, что одинаковое изменение вероятности имеет более сильное влияние там, где разрыв между выигрышем и проигрышем велик. Это помогает содержательно понять разницу между стратегиями.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым