Проверка найденных корней при условии на сумму корней — задачи с решениями для 8 класса

Ситуация. Школьная мастерская режет прямоугольные основы для плакатов и стендов. В журнале записывают сумму длины и ширины S (не периметр) и площадь A. Нужно восстановить размеры и проверить записи одноклассников. Все размеры — положительные сантиметры.

Если ширина равна x, то длина равна S − x. Поэтому x(S − x) = A, или x² − Sx + A = 0. По теореме Виета сумма двух корней такого уравнения равна S, но одного совпадения суммы недостаточно: требуется также произведение A и проверка каждого корня.

Для реального прямоугольника необходимы 0 < x < S. Два корня, отличающихся порядком, описывают один и тот же прямоугольник, поскольку ширину и длину можно поменять местами.

Рабочая таблица мастерской

Вопросы по журналу мастерской

В заданиях 1–14 используйте данные таблицы. В каждой проверке отдельно выпишите сумму кандидатов, произведение и итоговую подстановку в модель.

1. Для заказа А составьте квадратное уравнение, назовите сумму его корней и объясните, откуда берётся число 13.

2. Проверьте оба размера 5 и 8 для заказа А непосредственно в x² − 13x + 40 = 0.

3. Ученик предложил для А размеры 4 и 9: «сумма тоже 13». Найдите ошибку без решения уравнения по формуле.

4. Для заказа Б найдите обе стороны. Сколько составляет их сумма и площадь?

5. Для заказа Б предложены 6 и 13 см. Совпадает ли сумма? Почему нельзя принять размеры?

6. Для заказа В составьте математическую модель и проверьте размеры 8 и 10 см.

7. Для заказа В мастер записал (1/2)x² − 9x + 40 = 0. Эквивалентно ли это исходной модели?

8. Для заказа В известно, что разница между сторонами составляет 2 см. Восстановите обе стороны только по сумме и разнице и проверьте площадь.

9. Для заказа Г исследуйте возможность изготовления: есть ли две положительные стороны с суммой 16 см и площадью 65 см²?

10. Для заказа Д восстановите размеры и перепроверьте их по сумме и произведению.

11. Заказчик утверждает, что для Д достаточно чисел 9 и 11: сумма равна 20. Укажите числовое опровержение.

12. Для заказа Е проверьте запись 5 и 10 см и назовите периметр плаката.

13. Сравните А и Д: какой прямоугольник ближе к квадрату по отношению большей стороны к меньшей?

14. Дополнительный заказ: сумма сторон 17 см, площадь 72 см². Найдите стороны и проверьте их как корни квадратного уравнения.

Проверенные ответы и решения

1. Получаем x(13 − x) = 40, то есть x² − 13x + 40 = 0. По Виету x₁ + x₂ = 13; это исходная сумма длины и ширины, а не значение периметра.

2. Для x = 5: 25 − 65 + 40 = 0. Для x = 8: 64 − 104 + 40 = 0. Оба числа — корни, а 5·8 = 40 см².

3. Сумма 4 + 9 = 13 подходит, но произведение равно 36, а не 40; подстановка 4² − 13·4 + 40 = 4 ≠ 0. Значит, числа 4 и 9 — не корни.

4. Уравнение x² − 19x + 84 = 0 раскладывается как (x − 7)(x − 12) = 0. Стороны 7 и 12 см. Проверка: 7 + 12 = 19, 7·12 = 84.

5. Сумма 6 + 13 = 19 верна, но 6·13 = 78 ≠ 84. В частности, 6² − 19·6 + 84 = 6. Предположение не выполняет уравнение.

6. Уравнение x² − 18x + 80 = 0 = (x − 8)(x − 10). Для 8: 64 − 144 + 80 = 0; для 10: 100 − 180 + 80 = 0. Обе стороны положительны.

7. Да. Если умножить (1/2)x² − 9x + 40 = 0 на ненулевое число 2, получаем x² − 18x + 80 = 0. Оба уравнения имеют корни 8 и 10; дробный коэффициент не меняет их.

8. Пусть большая сторона L, меньшая W. Тогда L + W = 18, L − W = 2; складывая, получаем 2L = 20, L = 10, W = 8. Площадь 10·8 = 80 см² — верно.

9. Модель x² − 16x + 65 = 0 имеет D = 16² − 4·65 = −4. Действительных корней нет. При фиксированной сумме 16 наибольшая площадь у квадрата 8×8, то есть 64 см²; требование 65 см² невозможно.

10. Модель x² − 20x + 96 = 0 = (x − 8)(x − 12). Стороны 8 и 12 см; 8 + 12 = 20, 8·12 = 96 см².

11. Числа 9 и 11 дают 9·11 = 99 см². Значение левой части при x = 9: 81 − 180 + 96 = −3 ≠ 0; условие площади нарушено.

12. 5 + 10 = 15 и 5·10 = 50. Оба числа обращают x² − 15x + 50 в ноль. Периметр P = 2(5 + 10) = 30 см; не путайте сумму сторон с периметром.

13. Для А отношение длинной стороны к короткой: 8/5 = 1,6; для Д: 12/8 = 1,5. Отношение 1,5 ближе к 1, поэтому заказ Д ближе к квадрату.

14. Составляем x² − 17x + 72 = 0 = (x − 8)(x − 9). Стороны 8 и 9 см: сумма 17, произведение 72. Подстановки 64 − 136 + 72 = 0 и 81 − 153 + 72 = 0.

Проверка разумности модели

Если оба найденных значения — положительные, сумма равна указанной S, а произведение равно площади A, размеры подходят. Если выполняется только равенство суммы, перед нами не доказательство, а неполная проверка.

При отрицательном дискриминанте в модели заказа Г нельзя «округлить» корни или выбрать красивые числа: в действительных числах такой пары размеров нет. Нужно пересмотреть исходные требования к площади или к сумме сторон.

Число сантиметров и число квадратных сантиметров не взаимозаменяемы. Сумма сторон измеряется в см, площадь — в см², а периметр равен удвоенной сумме S. Для быстрой проверки положительности исследуйте 0 < x < S; отрицательная длина не имеет физического смысла.