Проверка независимости событий по условной вероятности: пошаговые задания для 11 класса

Краткое правило: как проверить независимость

Для событий A и B с P(B)>0 проверка через условную вероятность состоит в сравнении P(A|B) и P(A). Если они равны, события независимы; если не равны — зависимы. Равносильное условие, которое работает даже при нулевой вероятности одного события: P(A∩B)=P(A)P(B).

В каждой таблице четыре непересекающиеся группы наблюдений: одновременно A и B, A без B, B без A, ни одного из событий. Общее число объектов получается сложением четырёх клеток. Не путайте P(A|B), где знаменатель — число объектов с B, и P(B|A), где знаменатель — число объектов с A.

Рабочие таблицы и задания

Таблица 1. В мастерской

A — товар укомплектован, B — товар прошёл случайную проверку.

1. Найдите P(A|B) по таблице 1.

2. Вычислите P(A) без дополнительного условия.

3. Независимы ли события A и B? Поясните сравнением вероятностей.

4. Найдите P(B|A) и объясните разницу с P(A|B).

Таблица 2. На контрольной

A — ученик решил задачу 1, B — ученик решил задачу 2.

5. Найдите P(A|B) по таблице 2.

6. Вычислите P(A) без дополнительного условия.

7. Независимы ли события A и B? Поясните сравнением вероятностей.

Таблица 3. В журнале

A — отметка выше порога, B — запись с особым кодом (таких записей нет).

8. Можно ли найти P(A|B)?

9. Найдите P(A) по всем наблюдениям.

10. Можно ли установить независимость другим критерием?

Таблица 4. На двух станках

A — выпущен первый тип детали, B — зафиксирован сигнал датчика.

11. Найдите P(A|B) по таблице 4.

12. Вычислите P(A) без дополнительного условия.

13. Независимы ли события A и B? Поясните сравнением вероятностей.

Таблица 5. На складе

A — груз из первой партии, B — груз выбран для дополнительного осмотра.

14. Найдите P(A|B) по таблице 5.

15. Вычислите P(A) без дополнительного условия.

16. Независимы ли события A и B? Поясните сравнением вероятностей.

Ключ к пяти таблицам

1. 1. P(A|B)=12/24=1/2. Знаменатель — все случаи B.
2. 2. P(A)=20/40=1/2.
3. 3. P(A|B)=1/2, P(A)=1/2. Независимы: значения совпадают. Проверка произведения: 1/2·3/5=3/10, а P(A∩B)=3/10.
4. 4. P(B|A)=12/20=3/5. В условии B|A знаменатель равен количеству исходов A, а не B.
5. 5. P(A|B)=18/24=3/4. Знаменатель — все случаи B.
6. 6. P(A)=30/60=1/2.
7. 7. P(A|B)=3/4, P(A)=1/2. Зависимы: значения различаются. Проверка произведения: 1/2·2/5=1/5, а P(A∩B)=3/10.
8. 8. Нет: P(B)=0, поэтому условная вероятность P(A|B) не определена. Делить на ноль нельзя.
9. 9. P(A)=20/50=2/5.
10. 10. Да: P(A∩B)=0 и P(A)P(B)=2/5·0=0. Независимы в формальном вероятностном смысле, хотя P(A|B) не определена.
11. 11. P(A|B)=8/20=2/5. Знаменатель — все случаи B.
12. 12. P(A)=32/80=2/5.
13. 13. P(A|B)=2/5, P(A)=2/5. Независимы: значения совпадают. Проверка произведения: 2/5·1/4=1/10, а P(A∩B)=1/10.
14. 14. P(A|B)=9/20=9/20. Знаменатель — все случаи B.
15. 15. P(A)=30/100=3/10.
16. 16. P(A|B)=9/20, P(A)=3/10. Зависимы: значения различаются. Проверка произведения: 3/10·1/5=3/50, а P(A∩B)=9/100.

Проверка и пояснения спорных случаев

События могут быть независимыми, даже если их названия кажутся логически связанными: вывод всегда следует из чисел, а не из впечатления. И наоборот, доля A в группе B может быть очень близка к общей доле A, но любое точное различие уже означает зависимость в рамках данной модели.

Особенно важно выделить таблицу 3. Поскольку событие B имеет вероятность ноль, фраза «условная вероятность равна общей» здесь математически бессмысленна. Независимость проверяют по произведению P(A)P(B); равенство выполняется автоматически. Если данные описывают лишь конечную выборку, вывод касается именно эмпирического распределения этой выборки, а не обязательно всей генеральной совокупности.

Самопроверка: за каждую задачу даётся 1 балл, за указание знаменателя и корректного условия определения условной вероятности — дополнительно по одному баллу в последних пяти задачах. В таблицах 1 и 4 проверьте независимость двумя способами, в таблице 2 убедитесь, что сравнение даёт строгое неравенство.

Дополнительная проверка на устойчивость вывода

Для независимости необходимо точное равенство вероятностей в рамках предложенной модели. В таблице 4 события независимы, но нельзя объяснять это только тем, что P(A|B) и P(A) имеют похожие десятичные приближения: следует записать дроби и сократить их. Для таблицы 5 проверка через произведение показывает конкретное нарушение равенства, хотя сравниваемые числа относительно невелики.

При переходе от данных выборки к утверждениям о реальном процессе не делайте статистический вывод по одному совпадению долей. Наблюдаемая независимость в таблице не доказывает независимость механизма при любом количестве новых наблюдений: для этого нужна модель или статистическое исследование. В данной работе все выводы относятся к указанным конечным частотным таблицам.