Проверка независимости выбора для испытаний с неравновозможными исходами: рабочий лист для 9 класса

Маршрут: прочитайте две таблицы весов

В испытании сначала фиксируют признак A (К — красная метка, С — синяя), затем признак B (+ или −). Табличное число — не количество равновозможных категорий, а вес совместного исхода. Вероятность клетки равна её весу, делённому на сумму всех весов. У таблиц одинаковая сумма, но разная связь признаков.

Таблица I — независимая модель

Таблица II — зависимая модель

Лёгкий старт: чтение и сложение весов

1. В таблице I найдите суммарный вес всех исходов. Почему делитель именно 20?
2. В таблице I найдите P(A=К) и P(B=+) по суммам строки и столбца.
3. Вычислите P(A=К и B=+). Сравните с произведением маргинальных вероятностей.
4. Найдите P(B=+ | A=К) в таблице I. Изменился ли шанс плюса?
5. Найдите P(B=− | A=С) в таблице I. Как проверить ответ без пересчёта всех 20 единиц?

Развилка «ошибка или верно»

6. Верно или ошибочно: «в таблице I четыре пары, поэтому каждая имеет вероятность 1/4»?
7. Из таблицы I определите P(A=С или B=+). Укажите, какой совместный исход надо вычесть.
8. Для таблицы I объясните, независимы ли события «A=К» и «B=−».

Ступень II. Изменился ли шанс второго события?

9. В таблице II найдите P(A=К), P(B=+) и P(A=К, B=+).
10. Проверьте независимость этих событий через произведение вероятностей во второй таблице.
11. Найдите P(B=+ | A=К) в таблице II и сравните с P(B=+).
12. Какова вероятность «B=− при A=С» в таблице II?

Ступень III. Обратная проверка и объяснение

13. Ученик объявил испытания зависимыми, потому что исходы неравновозможны. Опровергните это с помощью таблицы I.
14. Можно ли для таблицы II вычислять вероятность пары (К,+) как 1/4? Почему?
15. Для таблицы II найдите P(A=С и B=−).
16. Для таблицы II найдите P(A=С или B=+), используя формулу объединения.
17. Сравните условную вероятность P(B=− | A=К) в двух таблицах.
18. Для таблицы I составьте один способ самопроверки независимости без расчёта всех четырёх произведений.

Самопроверка — ответы по маршруту

1. 2+6+3+9=20 условных весовых единиц; все четыре совместных исхода исчерпывают опыт, поэтому знаменатель 20.
2. P(A=К)=(2+6)/20=2/5; P(B=+)=(2+3)/20=1/4.
3. P(К,+)=2/20=1/10; (2/5)(1/4)=1/10. Совпадают.
4. P(+|К)=2/(2+6)=1/4, как и P(+)=1/4; событие B не зависит от A.
5. P(−|С)=9/(3+9)=3/4; дополнение к P(+|С)=1/4.
6. Ошибка: веса пар равны 2, 6, 3 и 9, а не 5, 5, 5 и 5. Их вероятности неодинаковы.
7. P(С∪+)=(12+5−3)/20=14/20=7/10. Вычитаем совместный исход (С,+) веса 3.
8. P(К∩−)=6/20=3/10; P(К)P(−)=(2/5)(3/4)=3/10: независимы.

Проверка второй таблицы

9. P(К)=8/20=2/5; P(+)=(6+1)/20=7/20; P(К,+)=6/20=3/10.
10. P(К)P(+)=(2/5)(7/20)=7/50, но P(К,+)=3/10=15/50: зависимы.
11. P(+|К)=6/8=3/4, тогда как P(+)=7/20: неодинаковы.
12. P(−|С)=11/(1+11)=11/12.
13. Таблица I имеет разные веса 2, 6, 3, 9 и при этом совместные вероятности равны произведениям маргинальных.
14. Нет: 6/20=3/10, потому что пары имеют разные веса. Формула равновозможных исходов не подходит.
15. P(С,−)=11/20.
16. P(С∪+)=(12+7−1)/20=18/20=9/10.
17. Таблица I: 6/8=3/4; таблица II: 2/8=1/4. Значение события зависит от совместного распределения.
18. Достаточно проверить одну независимость: P(+|К)=P(+), а затем строки и столбцы дополняют друг друга. Для двух двоичных признаков это гарантирует независимость остальных сочетаний.

Если допущена ошибка

Если делили количество клеток на четыре, вернитесь к задаче 6: исходы неравновозможны. Если применили P(A)P(B) без проверки независимости, повторите 10 и 11. Если перепутали P(B|A) и P(A|B), сначала выпишите знаменатель как сумму весов исходов, где выполнено условие.

Разбор одной строки до и после изменения модели

В таблице I вероятность плюса среди красных равна 2/(2+6)=1/4. Среди синих она равна 3/(3+9)=1/4. В обоих случаях знание цвета не меняет вероятность плюса, поэтому события независимы. Это верно, хотя вероятность пары (К,+) составляет 1/10, а (С,−) — 9/20: четыре категории совместных исходов явно неравновозможны.

В таблице II доля плюсов среди красных равна 6/8=3/4, а среди синих — 1/12. Такая разница показывает зависимость ещё до умножения общих вероятностей. Если поменять только связь между A и B, сохранив вес красной и синей строки, независимость может исчезнуть — так и происходит между таблицами I и II.

Условная вероятность всегда требует правильного знаменателя. Для P(B=+ | A=К) мы делим вес клетки (К,+) на сумму красной строки, а для P(A=К | B=+) — на сумму столбца плюсов. В таблице II это две разные величины: 6/8=3/4 и 6/7. Они отвечают на разные вопросы.

Итоговый критерий

При анализе двух взвешенных признаков полезна последовательность: найти общую сумму весов, получить суммы строк и столбцов, проверить произведение маргинальных вероятностей для одного совместного исхода, затем подтвердить через условную вероятность. Если хотя бы одна проверка не выполняется, независимость опровергнута. Недостаточно сказать, что «исходы имеют разные частоты»: сами по себе разные частоты не доказывают зависимости.