Проверка обратного действия при делении с ограничением на остаток — самостоятельная работа, 5 класс

Самостоятельная работа, 5 класс. Сначала прочитайте ошибочное решение: «98 : 12 = 7 (ост. 14), потому что 7 × 12 + 14 = 98». Сумма вычислена верно, но остаток 14 больше делителя 12. Правильная запись: 98 : 12 = 8 (ост. 2). Это пример, когда обратное действие необходимо дополнить проверкой остатка.

Часть А. Найдите шесть ошибок в записях

Для каждого пункта укажите, что именно нарушено: равенство N = d × q + r, основное ограничение 0 ≤ r < d или дополнительное ограничение из текста. Если исходная запись невозможна, вычислите правильное частное и остаток от указанных делимого и делителя. Помните: дополнительное условие изменить вычислением нельзя.

1. 98 : 12 = 7 (ост. 14); по условию остаток не превышает 15.
2. 147 : 13 = 11 (ост. 3); по условию остаток не превышает 5.
3. 112 : 12 = 10 (ост. −8); по условию остаток меньше 10.
4. 124 : 14 = 8 (ост. 12); по условию остаток не превышает 8.
5. 131 : 15 = 8 (ост. 11); по условию остаток чётный.
6. 162 : 20 = 8 (ост. 2); по условию остаток не меньше 5.

Часть Б. Проверьте ограничение самостоятельно

В пунктах 7–14 выполните деление с остатком и обратную проверку. Затем выясните, выполняется ли отдельное требование к остатку. Если оно несовместимо с делимым и делителем, так и укажите: другое частное не сделает заданное условие верным.

1. Разделите 173 на 14; дополнительно известно, что остаток меньше 6. Совместимы ли эти данные?
2. Разделите 187 на 16; дополнительно известно, что остаток чётный. Совместимы ли эти данные?
3. Разделите 246 на 19; дополнительно известно, что остаток не больше 1. Совместимы ли эти данные?
4. Разделите 205 на 17; дополнительно известно, что остаток чётный. Совместимы ли эти данные?
5. Разделите 319 на 24; дополнительно известно, что остаток меньше 8. Совместимы ли эти данные?
6. Разделите 198 на 15; дополнительно известно, что остаток кратен 3. Совместимы ли эти данные?
7. Разделите 267 на 21; дополнительно известно, что остаток не больше 10. Совместимы ли эти данные?
8. Разделите 175 на 13; дополнительно известно, что остаток нечётный. Совместимы ли эти данные?

Ответы и краткие решения

Часть А. При исправлении не путайте два действия: исправить арифметическую запись и доказать, что все дополнительные условия исходной задачи выполнены.

1. 1. 7 × 12 + 14 = 98, но 14 ≥ 12. Правильно: 98 = 8 × 12 + 2, 2 < 12, ограничение «не больше 15» теперь соблюдено.
2. 2. 11 × 13 + 3 = 146, а не 147. Правильно: 147 = 11 × 13 + 4; 4 < 13 и 4 ≤ 5.
3. 3. Хотя 10 × 12 − 8 = 112, остаток не может быть отрицательным. Правильно: 112 = 9 × 12 + 4; 4 < 12 и 4 < 10.
4. 4. 8 × 14 + 12 = 124, 12 < 14, но 12 > 8. Деление посчитано правильно; дополнительное условие несовместимо с данными.
5. 5. 8 × 15 + 11 = 131, 11 < 15, но 11 нечётное. Утверждение о чётном остатке неверно.
6. 6. 8 × 20 + 2 = 162, 2 < 20, но 2 < 5. Дополнительная нижняя граница остатка нарушена.

Часть Б. Результаты деления определены однозначно; для каждого требуется одновременно проверить сумму, верхнюю границу остатка и дополнительное словесное требование.

1. 7. 173 = 14 × 12 + 5; 0 ≤ 5 < 14. Дополнительное требование соблюдено.
2. 8. 187 = 16 × 11 + 11; 0 ≤ 11 < 16. Но условие «остаток чётный» не выполняется; все данные одновременно невозможны.
3. 9. 246 = 19 × 12 + 18; 0 ≤ 18 < 19. Но условие «остаток не больше 1» не выполняется; все данные одновременно невозможны.
4. 10. 205 = 17 × 12 + 1; 0 ≤ 1 < 17. Но условие «остаток чётный» не выполняется; все данные одновременно невозможны.
5. 11. 319 = 24 × 13 + 7; 0 ≤ 7 < 24. Дополнительное требование соблюдено.
6. 12. 198 = 15 × 13 + 3; 0 ≤ 3 < 15. Дополнительное требование соблюдено.
7. 13. 267 = 21 × 12 + 15; 0 ≤ 15 < 21. Но условие «остаток не больше 10» не выполняется; все данные одновременно невозможны.
8. 14. 175 = 13 × 13 + 6; 0 ≤ 6 < 13. Но условие «остаток нечётный» не выполняется; все данные одновременно невозможны.

Итоговая самопроверка. Поставьте три отметки возле каждой задачи: (1) умножение и сложение возвращают делимое, (2) остаток неотрицателен и меньше делителя, (3) дополнительное условие на остаток выполнено. Если хотя бы одна отметка отсутствует, исходное решение нельзя считать правильным.

Полезное правило: при фиксированных положительных делимом и делителе существует единственная пара «частное — остаток», удовлетворяющая двум основным условиям. Поэтому несовместимое дополнительное ограничение нельзя исправить подбором иного остатка без изменения самого делимого или делителя.

Как различить ошибку деления и несовместимость условия

Сравните пункты 2 и 4. Во втором пункте нарушена сама арифметика: 11 × 13 + 3 не равно 147. Правильный остаток можно вычислить по исходным делимому и делителю, после чего выполнить все ограничения. В четвёртом пункте деление 124 на 14 уже посчитано правильно: 8 полных групп и остаток 12. Исправлять здесь нечего; ошибочным является дополнительное требование «остаток не больше 8».

В третьем пункте отрицательный остаток появился потому, что взяли слишком большое частное 10. Чтобы получить корректное решение, нужно уменьшить частное до 9 и пересчитать остаток 112 − 9 × 12 = 4. Этот остаток уже неотрицателен и меньше 12, поэтому подходит для деления.

В пятом и шестом пунктах сумма и обычное правило остатка соблюдены, но нарушены разные дополнительные условия: чётность в одном случае и нижняя граница в другом. Не заменяйте заданное делимое новым числом ради правильного ответа. Требуется доказать противоречие.

Критерий проверки работы: ученик должен отдельно указать исходное равенство, диапазон остатка и словесное ограничение. Одна запись вида «верно» или «неверно» без указания причины недостаточна для задач на анализ ошибки.