Проверка обратного действия в задаче на упаковку предметов — рабочий лист для 5 класса

Исследовательская карточка для 5 класса: ученики не только вычисляют полные коробки и остаток, но и выясняют, почему обратное действие иногда подтверждает неверно записанный ответ. Материал подходит для работы парами: один ученик составляет отчёт упаковщика, второй проверяет его.

Исследование: можно ли доверять отчёту?

Представьте, что мастер раскладывает изделия по коробкам одинаковой вместимости. В отчёте указываются три числа: вместимость коробки, число полных коробок, количество изделий вне коробок. Нам нужно восстановить первоначальное количество изделий и доказать, что слово «полных» используется правильно.

Задача-наблюдение. Для школьной ярмарки подготовили 101 значок. В коробку помещается ровно 9 значков. Записано: «11 полных коробок и 2 отдельных значка». Проверка умножением: 11 × 9 + 2 = 101. Заметим, что 2 < 9: из остатка невозможно собрать ещё одну полную коробку.

Откройте правило самостоятельно

Решите сначала задания 1–3, не пользуясь приведённым ниже выводом. Для каждого запишите равенство вида «полные коробки × вместимость + остаток = всего» и сравните остаток с вместимостью.

1. 101 значок, вместимость 9. Верны ли запись «11 полных коробок и 2 отдельно» и восстановленное количество?
2. 128 карандашей, вместимость 15. Сколько коробок заполнится полностью, сколько карандашей останется? Проверьте обратным действием.
3. 72 фишки, вместимость 8. Что означает нулевой остаток? Верните число фишек умножением.

Сформулируйте правило на полях: какое равенство нужно проверить и какое неравенство обязательно для остатка? Попробуйте объяснить, почему недостаточно только умножения.

Контрпримеры: равенство верное, отчёт неверный

Для задач 4–6 сначала посмотрите лишь на арифметическую сумму. Затем представьте, как реально распределяются предметы: можно ли назвать все указанные коробки полными, а оставшееся число — остатком?

1. Проверьте запись для 101 значка и коробок по 9: «10 полных коробок и 11 значков осталось». Ведь 10 × 9 + 11 = 101.
2. Проверьте «128 карандашей, 9 коробок по 15 и остаток −7». Формальное равенство 9 × 15 − 7 = 128 верно.
3. Проверьте «72 фишки, 8 коробок по 8 и остаток 8». Равенство 8 × 8 + 8 = 72 верно.

Вывод исследования. Для корректного деления с остатком нужны оба условия: N = q × d + r и 0 ≤ r < d. Первый тест проверяет исходную сумму, второй — полноту упаковки и допустимость остатка. Если второе условие нарушено, можно перераспределить предметы и получить другое число полных коробок.

Применение правила: новый заказ склада

В заданиях 7–14 выполните деление, запишите число полных коробок и остаток, затем укажите оба обязательных пункта обратной проверки. Где возможно, подберите наглядное объяснение по предметам.

1. 149 марок, в коробку помещается 12. Сколько коробок заполнится без остатка внутри каждой, сколько предметов останется вне коробок?
2. 207 пуговиц, в коробку помещается 16. Сколько коробок заполнится без остатка внутри каждой, сколько предметов останется вне коробок?
3. 256 деталей конструктора, в коробку помещается 24. Сколько коробок заполнится без остатка внутри каждой, сколько предметов останется вне коробок?
4. 191 жетонов, в коробку помещается 10. Сколько коробок заполнится без остатка внутри каждой, сколько предметов останется вне коробок?
5. 320 открыток, в коробку помещается 25. Сколько коробок заполнится без остатка внутри каждой, сколько предметов останется вне коробок?
6. 415 наклеек, в коробку помещается 30. Сколько коробок заполнится без остатка внутри каждой, сколько предметов останется вне коробок?
7. 138 магнитов, в коробку помещается 14. Сколько коробок заполнится без остатка внутри каждой, сколько предметов останется вне коробок?
8. 270 карандашей, в коробку помещается 18. Сколько коробок заполнится без остатка внутри каждой, сколько предметов останется вне коробок?

Исследовательские ответы и комментарии

1. 1. Отчёт верен: 11 × 9 + 2 = 101, остаток 2 меньше вместимости 9.
2. 2. 128 : 15 = 8 (ост. 8); 8 × 15 + 8 = 128 и 0 ≤ 8 < 15.
3. 3. 72 : 8 = 9 (ост. 0); 9 × 8 + 0 = 72. Отдельных предметов не остаётся.
4. 4. Отчёт неверен: 11 значков хватит на ещё одну полную коробку по 9. Правильно 11 коробок и 2 значка.
5. 5. Отрицательного остатка не бывает. Правильно 8 полных коробок и 8 карандашей: 8 × 15 + 8 = 128.
6. 6. Остаток равен вместимости; можно наполнить девятую коробку. Правильно 9 полных коробок, остаток 0.
7. 7. 149 : 12 = 12 (ост. 5). Обратное действие: 12 × 12 + 5 = 149; проверка остатка: 5 < 12.
8. 8. 207 : 16 = 12 (ост. 15). Обратное действие: 12 × 16 + 15 = 207; проверка остатка: 15 < 16.
9. 9. 256 : 24 = 10 (ост. 16). Обратное действие: 10 × 24 + 16 = 256; проверка остатка: 16 < 24.
10. 10. 191 : 10 = 19 (ост. 1). Обратное действие: 19 × 10 + 1 = 191; проверка остатка: 1 < 10.
11. 11. 320 : 25 = 12 (ост. 20). Обратное действие: 12 × 25 + 20 = 320; проверка остатка: 20 < 25.
12. 12. 415 : 30 = 13 (ост. 25). Обратное действие: 13 × 30 + 25 = 415; проверка остатка: 25 < 30.
13. 13. 138 : 14 = 9 (ост. 12). Обратное действие: 9 × 14 + 12 = 138; проверка остатка: 12 < 14.
14. 14. 270 : 18 = 15 (ост. 0). Обратное действие: 15 × 18 + 0 = 270; проверка остатка: 0 < 18.

Как обсудить результат на уроке

Попросите одного ученика доказать ответ на задании 10 только умножением. Пусть другой возразит: «А вдруг остаток равен вместимости?» После этого сравните с контрпримером 6. Так становится видно, зачем в математике два независимых критерия верности при делении с остатком.

При упаковке 207 предметов в коробки по 16 особенно полезно мысленно собрать 12 полных коробок: это 192 предмета, остаётся 15. Остаток близок к вместимости, но ещё не даёт тринадцатую полную коробку. А вот 16 оставшихся предметов изменили бы число полных коробок.

Задание для самопроверки после урока: придумайте свой неверный отчёт, у которого произведение и сумма дают исходное N, но нарушается правило остатка. Затем исправьте количество полных коробок и остаток без изменения вместимости. Это закрепляет проверку лучше, чем простое запоминание формулы.

Итог. Обратное действие — не украшение ответа. Это способ выяснить, сохранено ли общее число предметов, а сравнение остатка с вместимостью доказывает, что дальнейшая полная упаковка невозможна.

Обсуждение: два независимых доказательства

Математический смысл проверки состоит в различии между двумя вопросами. Первый: «Вернули ли мы исходное количество предметов?» Ответ даёт равенство с умножением и сложением. Второй: «Действительно ли больше нельзя наполнить ещё одну коробку?» Здесь нужен строгий предел для остатка. Два ответа должны быть положительными одновременно; один не заменяет другой.

Вернёмся к 101 значку. Если ученик сначала записал десять коробок по девять и одиннадцать оставшихся, он посчитал все значки верно, но нарушил правило полноты коробок. Из одиннадцати значков можно составить ещё одну коробку из девяти, после чего останутся два. Значит, преобразование «10 коробок + 11 отдельных» в «11 коробок + 2 отдельных» не меняет общее число, зато исправляет сам отчёт.

Похожая ошибка с отрицательным остатком устроена иначе. Фраза «9 полных коробок по 15 и −7 карандашей» не имеет смысла для реального склада: нельзя оставить за пределами коробок минус семь карандашей. Чтобы получить корректную упаковку, достаточно уменьшить число заполненных коробок до восьми. Тогда 120 карандашей находятся в коробках и ещё 8 остаются отдельно.

Наблюдайте за границей остатка

Возьмите вместимость 12 и придумайте отчёты для 149 предметов. Запись «12 коробок и 5 осталось» корректна: 12 × 12 + 5 = 149, остаток меньше 12. А запись «11 коробок и 17 осталось» тоже возвращает 149, но 17 позволяют заполнить двенадцатую коробку. Такой контрпример можно построить для любой вместимости: если отнять одну полную коробку из частного, остаток увеличится на вместимость.

Особенно хорошо это видно, когда остаток почти равен вместимости. В задании 8 остаётся 15 пуговиц при вместимости 16. Это не шестнадцать, поэтому дополнительной полной коробки нет. Нельзя округлить число оставшихся предметов «примерно до шестнадцати»: единица меняет математический вывод. При больших числах та же логика работает без изменения.

Предложите ученикам сравнить два независимых отчёта для одинакового заказа. Пусть один использует число полных коробок на единицу меньше истинного, а второй — истинное количество. Их суммы могут совпасть, но проверка остатка отсеет неверный вариант. Эта проверка удобна при приёмке товаров, фасовке материалов, подготовке одинаковых наборов.

Сравнение нескольких стратегий

Первая стратегия — обычное деление с остатком. Вторая — подбор числа полных коробок: умножайте вместимость на предполагаемое количество, пока не получите наибольшее произведение, не превышающее общее число предметов. Третья — обратная проверка уже написанного отчёта. Для заданий 7–14 подходят все три стратегии; обсудите, какая быстрее при вместимости 10, а какая удобнее при вместимости 24 или 30.

Если ученик получил остаток, равный вместимости, попросите исправить только пару «полные коробки — остаток», не меняя исходное число и размер коробки. Должно прибавиться ровно по одной полной коробке, а остаток уменьшиться на её вместимость. Такой способ учит замечать структуру ответа до перепроверки всей арифметики.