Проверка обратного утверждения для геометрических признаков: тематические карточки для 7 класса

Вариант А: найти контрпример или полный признак

Обратное к высказыванию «если P, то Q» записывается «если Q, то P». В первом варианте проверьте фигуры с равными сторонами и углами, свойства диагоналей и равенство треугольников. В каждом задании сначала назовите исходный факт, затем отдельно решите, работает ли его обратное. Если нет — достаточно одной геометрически возможной фигуры, у которой Q истинно, а P ложно.

1. Если фигура — квадрат, то это ромб. Верно ли обратное «каждый ромб — квадрат»?
2. Если треугольник равносторонний, то у него две стороны равны. Обратное?
3. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. Обратное?
4. Если четырёхугольник — прямоугольник, то все четыре угла прямые. Обратное?
5. Если фигура — ромб, то её диагонали перпендикулярны. Обратное?
6. Если две треугольные фигуры равны, то их площади равны. Обратное?
7. Если треугольник имеет стороны 3,4,5 см, он прямоугольный. Обратное?
8. Если обе пары противоположных сторон четырёхугольника равны, он параллелограмм. Обратное?

Вариант Б: признаки через параллельность и высоты

Во втором варианте нужны не столько числовые вычисления, сколько точные предпосылки: «при одной секущей», «в одной плоскости», «медиана к основанию», «обе пары противоположных сторон». Нельзя превращать верный геометрический признак в обратное утверждение, не проверив, что все его условия остались на месте. Для наглядности рисуйте собственный маленький пример или контрпример.

1. Если прямые параллельны, накрест лежащие углы при секущей равны. Обратное?
2. Если четырёхугольник — прямоугольник, его диагонали равны. Обратное?
3. Если треугольник прямоугольный, его гипотенуза — самая длинная сторона. Обратное?
4. Если медиана из вершины равнобедренного треугольника опущена на основание, она же высота. Обратное?
5. Если две различные прямые перпендикулярны одной третьей прямой в плоскости, они параллельны. Обратное?
6. Если углы при пересечении двух прямых смежны и равны, прямые перпендикулярны. Обратное?
7. Если у треугольника все стороны равны, то каждый угол 60°. Обратное?
8. Если у параллелограмма обе диагонали делятся точкой пересечения пополам, верно ли обратное: любой четырёхугольник с делящимися пополам диагоналями — параллелограмм?

Ключ к варианту А — 8 решений

1. Нет. Ромб с углами 60° и 120° не квадрат: все стороны у него равны, но углы не прямые.
2. Нет: равнобедренный треугольник со сторонами 5,5,6 имеет две равные стороны, но не все три.
3. Да. Равенство двух углов в треугольнике влечёт равенство сторон, лежащих напротив них. Это признак равнобедренного треугольника.
4. Да. В обычном простом четырёхугольнике четыре прямых угла означают, что по определению это прямоугольник.
5. Нет. У дельтоида (четырёхугольника с двумя парами равных соседних сторон) диагонали могут быть перпендикулярны, но не все четыре стороны равны.
6. Нет. Прямоугольные треугольники с катетами 3 и 8 см и 4 и 6 см оба имеют площадь 12 см², но не равны.
7. Нет. Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 см имеет гипотенузу 13 см; прямой угол не фиксирует конкретные длины.
8. Да: у параллелограмма противоположные стороны равны. При выполнении обеих пар равенств работает признак параллелограмма.

Ключ к варианту Б — 8 решений

1. Да, при одной секущей: равенство накрест лежащих углов обеспечивает параллельность двух прямых.
2. Нет. Равнобедренная трапеция может иметь равные диагонали, хотя не является прямоугольником.
3. Нет: у любого неравностороннего треугольника есть самая длинная сторона. Например, треугольник со сторонами 4,5,6 не прямоугольный.
4. Да: если медиана к стороне одновременно является высотой, два полученных прямоугольных треугольника равны по двум катетам, а боковые стороны исходного треугольника равны.
5. Нет без дополнительного условия на третью прямую: две параллельные горизонтальные прямые вовсе не обязаны быть перпендикулярны произвольной наклонной прямой.
6. Да. При перпендикулярных прямых все четыре угла по 90°, поэтому любая пара смежных углов равна.
7. Да. Если все три угла по 60°, напротив равных углов лежат равные стороны; треугольник равносторонний.
8. Да. Это признак параллелограмма. Но этого условия недостаточно, чтобы назвать его прямоугольником или ромбом.

Взаимная проверка

Участник варианта А объясняет, почему одинаковые площади не доказывают равенство треугольников; участник варианта Б приводит равнобедренную трапецию как контрпример к обратному выводу о диагоналях прямоугольника. Затем оба сравнивают свои доказательства: в одном случае ищут частный контрпример, в другом применяют общий признак. Не признавайте ответ доказанным только по сходству рисунков.

Критерий: за каждый из 16 пунктов засчитывается 1 балл за оценку обратного утверждения и 1 балл за доказательство или действительный контрпример. Максимум 32 балла. Полезная самопроверка: слово «обратно» не означает «очевидно верно».

Подсказка к сложным пунктам: обратное к свойству прямоугольника о равенстве диагоналей проверяется на трапеции, а обратное к признаку равнобедренного треугольника — с помощью равных углов при основании. В первом случае легко найти контрпример, во втором требуется доказательство общего правила. Не заменяйте эти два разных метода рассуждением «так видно на рисунке»: внешний вид зависит от того, как фигуру нарисовали.