Проверка ограничений модели для минимального расхода материала — математический практикум для 11 класса
11 класс · мини-тест · допустимые параметры минимального расхода
Перед поиском минимума нужно доказать, что модель описывает реальный предмет. В каждом вопросе выберите или обоснуйте ответ и проверьте ограничения: размеры должны быть положительными, объём — заданным, количество материала и единицы — согласованными. Одна правильная формула при неверной области допустимых значений не даёт правильного проекта.
Оценивание: 12 заданий по 2 балла; за корректный вывод — 1 балл, за проверку ограничения или объяснение — ещё 1 балл. Максимум 24 балла.
Содержание статьи14 разделов
Задание 1
Открытая коробка имеет квадратное основание x и фиксированный объём 16. Какая площадь материала: x²+64/x или 2x²+64/x?
Ответ и проверка. x²+64/x, потому что крышки нет; x>0.
Задание 2
Высота цилиндра h=100/(πr²). Какова допустимая область радиуса?
Ответ и проверка. r>0, иначе деление на ноль и вырожденное тело.
Задание 3
Из листа 20×12 см вырезают углы x. Подходит ли x=6 см?
Ответ и проверка. Нет: сторона основания 12−2·6=0. Требуется 0
Задание 4
Для закрытого цилиндра объёма 100π см³ выбрана площадь S=2πr²+200π/r. Верно?
Ответ и проверка. Да: h=100/r², боковая площадь 2πrh=200π/r; r>0.
Задание 5
Условие ограничивает высоту ёмкости сверху: h≤5. При V=60 и квадратном основании запишите ограничение на x.
Ответ и проверка. 60/x²≤5, то есть x²≥12 и x≥√12 при x>0.
Задание 6
В модели «не более 80 см² картона» ученик написал S≥80. Исправьте.
Ответ и проверка. Должно быть S≤80, если S — фактическая площадь расхода.
Задание 7
Для x(18−2x)² при 0 Ответ и проверка. Нет: x=9 исключён из области, дно исчезает. Внутренний максимум при x=3.
Задание 8
Площадь открытого короба 4×4×2 см без крышки равна 48 см². Верно?
Ответ и проверка. Да: основание 16, четыре стенки 4·4·2=32; вместе 48 см².
Задание 9
В таблице лист 30×20 см, вырез x=8 см. Проверьте допустимость.
Ответ и проверка. 0<8<10: да, дно 14×4 см и высота 8 см.
Задание 10
Если изделие можно изготовить лишь в целых экземплярах, допустим ли результат минимума n=4,5?
Ответ и проверка. Нет, n целое; проверяют ближайшие допустимые целые значения и остальные условия.
Задание 11
Требуется ровно 240 см³ объёма. Проект даёт 238 см³, но расход материала меньше. Можно ли принять проект?
Ответ и проверка. Нет: равенство V=240 обязательно; меньший расход не оправдывает нарушение объёма.
Задание 12
Можно ли сравнить 0,5 м² и 40 см² как числа 0,5 и 40, не переводя единицы?
Ответ и проверка. Нет. 0,5 м²=5000 см², это больше 40 см².
Критерии и разбор спорных решений
21–24 балла — уверенная проверка модели; 16–20 — правильные формулы, но отдельные ограничения требуют внимания; 10–15 — перепроверьте области допустимых значений, единицы и геометрический смысл; менее 10 — начните с восстановления размеров по объёму и подсчёта граней без производной.
В вопросе о цилиндре оба основания учитываются только у закрытого сосуда. В вопросе о картонном листе x=6 не подходит, хотя формула объёма формально даёт нуль: настоящая коробка при таком вырезе не получается. В вопросе об округлении количества изделий нельзя просто округлять вещественный оптимум, не проверив соседние допустимые варианты.
Как разбирать ошибки после теста
Сначала восстановите геометрию: посчитайте число граней и проверьте, что каждая входит в площадь ровно один раз. Затем запишите равенство на заданный объём и выразите зависимую длину. После этого составьте список неравенств: положительные размеры, верхние и нижние технологические пределы, ограничение на материал. Только на полученной области допустимости можно искать минимум производной или сравнением значений. Если найденная стационарная точка выходит за границы, её следует отвергнуть и проверить допустимые граничные значения; нельзя просто оставить красивый корень уравнения.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.