Проверка параллельности отрезков для прямоугольника на координатной плоскости — математический практикум для 9 класса

Мини-тест для 9 класса. Цель — не угадывать форму по рисунку, а проверять параллельность противоположных сторон четырёхугольника с предполагаемыми вершинами прямоугольника. Каждое задание — 1 балл за верный вывод и ещё 1 за математическое обоснование.

Две разные проверки

Если ABCD — прямоугольник, то AB ∥ CD и BC ∥ AD. Ненулевые направляющие векторы параллельны, когда их определитель равен нулю. Однако только параллельности недостаточно: фигура может быть параллелограммом. Чтобы подтвердить прямоугольник, дополнительно проверьте AB·BC=0. Обратите внимание: у противоположных сторон как направленных векторов направления могут быть противоположными — это не мешает параллельности.

Тест: 12 заданий разных типов

1. Задание 1. Четырёхугольник ABCD: A(0; 0), B(4; 0), C(4; 3), D(0; 3). Сравните направления AB и CD, BC и AD. Можно ли утверждать, что это прямоугольник?
2. Задание 2. В таблице вершин A(2; 1), B(5; 3), C(3; 6), D(0; 4) ученик назвал фигуру прямоугольником. Проверьте параллельность противоположных сторон и прямой угол при B.
3. Задание 3. A(−3; −1), B(1; −1), C(1; 4), D(−3; 4). Верно ли утверждение «если противоположные стороны параллельны, фигура обязательно прямоугольник» для этого набора данных? Обоснуйте.
4. Задание 4. Четырёхугольник ABCD: A(5; 0), B(8; 2), C(6; 5), D(3; 3). Сравните направления AB и CD, BC и AD. Можно ли утверждать, что это прямоугольник?
5. Задание 5. В таблице вершин A(0; 0), B(3; 0), C(3; 2), D(1; 2) ученик назвал фигуру прямоугольником. Проверьте параллельность противоположных сторон и прямой угол при B.
6. Задание 6. A(2; 2), B(5; 4), C(4; 7), D(1; 5). Верно ли утверждение «если противоположные стороны параллельны, фигура обязательно прямоугольник» для этого набора данных? Обоснуйте.

Продолжение: ловушки и координатные контрпримеры

1. Задание 7. Четырёхугольник ABCD: A(−4; 1), B(−4; 6), C(1; 6), D(1; 1). Сравните направления AB и CD, BC и AD. Можно ли утверждать, что это прямоугольник?
2. Задание 8. В таблице вершин A(1; −5), B(5; −2), C(2; 2), D(−2; −1) ученик назвал фигуру прямоугольником. Проверьте параллельность противоположных сторон и прямой угол при B.
3. Задание 9. A(0; 0), B(2; 0), C(2; 3), D(0; 4). Верно ли утверждение «если противоположные стороны параллельны, фигура обязательно прямоугольник» для этого набора данных? Обоснуйте.
4. Задание 10. Четырёхугольник ABCD: A(5; 5), B(3; 8), C(0; 6), D(2; 3). Сравните направления AB и CD, BC и AD. Можно ли утверждать, что это прямоугольник?
5. Задание 11. В таблице вершин A(−2; −2), B(2; −2), C(2; 1), D(−2; 1) ученик назвал фигуру прямоугольником. Проверьте параллельность противоположных сторон и прямой угол при B.
6. Задание 12. A(1; 2), B(4; 2), C(5; 6), D(2; 6). Верно ли утверждение «если противоположные стороны параллельны, фигура обязательно прямоугольник» для этого набора данных? Обоснуйте.

Ключ: объяснения к задачам 1–6

1. 1. AB=(4; 0), CD=(−4; 0), BC=(0; 3), AD=(0; 3). det(AB,CD)=0, det(BC,AD)=0. AB·BC=0. Противоположные стороны попарно параллельны; угол B прямой. Прямоугольник. Для прямоугольника нужны обе пары параллельных сторон и перпендикулярность соседних.
2. 2. AB=(3; 2), CD=(−3; −2), BC=(−2; 3), AD=(−2; 3). det(AB,CD)=0, det(BC,AD)=0. AB·BC=0. Противоположные стороны попарно параллельны; угол B прямой. Прямоугольник. Для прямоугольника нужны обе пары параллельных сторон и перпендикулярность соседних.
3. 3. AB=(4; 0), CD=(−4; 0), BC=(0; 5), AD=(0; 5). det(AB,CD)=0, det(BC,AD)=0. AB·BC=0. Противоположные стороны попарно параллельны; угол B прямой. Прямоугольник. Для прямоугольника нужны обе пары параллельных сторон и перпендикулярность соседних.
4. 4. AB=(3; 2), CD=(−3; −2), BC=(−2; 3), AD=(−2; 3). det(AB,CD)=0, det(BC,AD)=0. AB·BC=0. Противоположные стороны попарно параллельны; угол B прямой. Прямоугольник. Для прямоугольника нужны обе пары параллельных сторон и перпендикулярность соседних.
5. 5. AB=(3; 0), CD=(−2; 0), BC=(0; 2), AD=(1; 2). det(AB,CD)=0, det(BC,AD)=−2. AB·BC=0. Противоположные стороны не все параллельны; угол B прямой. Прямоугольник не подтверждён. Для прямоугольника нужны обе пары параллельных сторон и перпендикулярность соседних.
6. 6. AB=(3; 2), CD=(−3; −2), BC=(−1; 3), AD=(−1; 3). det(AB,CD)=0, det(BC,AD)=0. AB·BC=3. Противоположные стороны попарно параллельны; угол B не прямой. Прямоугольник не подтверждён. Для прямоугольника нужны обе пары параллельных сторон и перпендикулярность соседних.

Ключ: объяснения к задачам 7–12

1. 7. AB=(0; 5), CD=(0; −5), BC=(5; 0), AD=(5; 0). det(AB,CD)=0, det(BC,AD)=0. AB·BC=0. Противоположные стороны попарно параллельны; угол B прямой. Прямоугольник. Для прямоугольника нужны обе пары параллельных сторон и перпендикулярность соседних.
2. 8. AB=(4; 3), CD=(−4; −3), BC=(−3; 4), AD=(−3; 4). det(AB,CD)=0, det(BC,AD)=0. AB·BC=0. Противоположные стороны попарно параллельны; угол B прямой. Прямоугольник. Для прямоугольника нужны обе пары параллельных сторон и перпендикулярность соседних.
3. 9. AB=(2; 0), CD=(−2; 1), BC=(0; 3), AD=(0; 4). det(AB,CD)=2, det(BC,AD)=0. AB·BC=0. Противоположные стороны не все параллельны; угол B прямой. Прямоугольник не подтверждён. Для прямоугольника нужны обе пары параллельных сторон и перпендикулярность соседних.
4. 10. AB=(−2; 3), CD=(2; −3), BC=(−3; −2), AD=(−3; −2). det(AB,CD)=0, det(BC,AD)=0. AB·BC=0. Противоположные стороны попарно параллельны; угол B прямой. Прямоугольник. Для прямоугольника нужны обе пары параллельных сторон и перпендикулярность соседних.
5. 11. AB=(4; 0), CD=(−4; 0), BC=(0; 3), AD=(0; 3). det(AB,CD)=0, det(BC,AD)=0. AB·BC=0. Противоположные стороны попарно параллельны; угол B прямой. Прямоугольник. Для прямоугольника нужны обе пары параллельных сторон и перпендикулярность соседних.
6. 12. AB=(3; 0), CD=(−3; 0), BC=(1; 4), AD=(1; 4). det(AB,CD)=0, det(BC,AD)=0. AB·BC=3. Противоположные стороны попарно параллельны; угол B не прямой. Прямоугольник не подтверждён. Для прямоугольника нужны обе пары параллельных сторон и перпендикулярность соседних.

Оценивание

Максимум — 24 балла. 21–24: уверенно определяете прямоугольник; 16–20: повторите перпендикулярность; 10–15: потренируйтесь вычислять определитель; 0–9: начните с координат направляющего вектора. Само равенство наклонов у вертикальных сторон не используют: их угловые коэффициенты не определены.

Если обнаружили расхождение, перепроверьте порядок вершин ABCD. Для четырёхугольника важны именно пары AB и CD, BC и AD. Не подменяйте доказательство визуальным сходством: линии на чертеже могут иметь произвольный наклон.