Проверка параллельности отрезков по известной середине отрезка: задачи с решениями для 9 класса

9 класс. Практика с обратной проверкой: сначала восстановите неизвестный конец AB по середине, только после этого сравнивайте направления AB и CD. Упражнения охватывают горизонтальные, вертикальные и наклонные отрезки.

Разобранный пример

Пусть A(−1; 2), M(2; 4) — середина AB. Тогда B=(2·2−(−1); 2·4−2)=(5;6), поэтому AB=(6;4). Если C(0;0), D(9;6), то CD=(9;6); 6·6−4·9=0. Оба отрезка ненулевые, значит они параллельны. Обратно: ((−1+5)/2; (2+6)/2)=(2;4) — середина восстановлена верно.

Учебный маршрут — от прямых вычислений к поиску ошибки

Основные формулы: x_B=2x_M−x_A, y_B=2y_M−y_A. Затем найдите AB=(u_x;u_y) и CD=(v_x;v_y). Условие параллельности ненулевых векторов: u_xv_y−u_yv_x=0. Оно подходит даже для вертикальных отрезков, где угловой коэффициент не определён.

Ступень I. Восстановление конца и прямая проверка

1. Задание 1. A(1; 2), M(3; 5) — середина AB; C(−4; 2), D(0; 8). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
2. Задание 2. A(−2; 1), M(0; −3) — середина AB; C(5; 4), D(1; 12). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
3. Задание 3. A(4; −2), M(4; 2) — середина AB; C(2; 3), D(2; 19). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
4. Задание 4. A(−3; −4), M(2; −4) — середина AB; C(1; 1), D(11; 2). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
5. Задание 5. A(0; 0), M(3; 1) — середина AB; C(−2; −2), D(−14; −6). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
6. Задание 6. A(6; 2), M(1; −1) — середина AB; C(3; 4), D(−8; −2). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.

Ступень II. Изменили одно условие — сравните заново

1. Задание 7. A(−4; 7), M(−1; 3) — середина AB; C(0; 2), D(18; −22). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
2. Задание 8. A(3; −6), M(5; −2) — середина AB; C(−3; 0), D(−7; −8). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
3. Задание 9. A(−1; −3), M(2; 1) — середина AB; C(1; −4), D(15; 12). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
4. Задание 10. A(5; 5), M(2; 1) — середина AB; C(3; −3), D(−3; −11). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
5. Задание 11. A(1; −5), M(1; 0) — середина AB; C(−5; −5), D(−4; −15). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
6. Задание 12. A(−2; −2), M(−5; −3) — середина AB; C(7; 1), D(−11; −5). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.

Ступень III. Вертикальные и наклонные случаи

1. Задание 13. A(8; −4), M(2; 2) — середина AB; C(−1; −2), D(−13; 10). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
2. Задание 14. A(−5; 2), M(−2; 5) — середина AB; C(2; 4), D(−3; −2). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
3. Задание 15. A(0; 4), M(4; 0) — середина AB; C(−3; 2), D(13; −14). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
4. Задание 16. A(3; 0), M(3; 6) — середина AB; C(6; −1), D(6; −13). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
5. Задание 17. A(−6; −1), M(−1; 4) — середина AB; C(2; 2), D(33; 32). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.
6. Задание 18. A(2; 9), M(−1; 4) — середина AB; C(4; −5), D(16; 15). Восстановите B и установите, параллельны ли отрезки AB и CD. Выполните обратную проверку середины.

Ответы и обратная проверка — ступень I

1. 1. B=(2·3−(1); 2·5−(2))=(5; 8). Векторы AB=(4; 6), CD=(4; 6). Определитель 4·6−6·4=0; отрезки параллельны. Проверка: (A+B)/2=(3; 5).
2. 2. B=(2·0−(−2); 2·−3−(1))=(2; −7). Векторы AB=(4; −8), CD=(−4; 8). Определитель 4·8−−8·−4=0; отрезки параллельны. Проверка: (A+B)/2=(0; −3).
3. 3. B=(2·4−(4); 2·2−(−2))=(4; 6). Векторы AB=(0; 8), CD=(0; 16). Определитель 0·16−8·0=0; отрезки параллельны. Проверка: (A+B)/2=(4; 2).
4. 4. B=(2·2−(−3); 2·−4−(−4))=(7; −4). Векторы AB=(10; 0), CD=(10; 1). Определитель 10·1−0·10=10; отрезки не параллельны. Проверка: (A+B)/2=(2; −4).
5. 5. B=(2·3−(0); 2·1−(0))=(6; 2). Векторы AB=(6; 2), CD=(−12; −4). Определитель 6·−4−2·−12=0; отрезки параллельны. Проверка: (A+B)/2=(3; 1).
6. 6. B=(2·1−(6); 2·−1−(2))=(−4; −4). Векторы AB=(−10; −6), CD=(−11; −6). Определитель −10·−6−−6·−11=−6; отрезки не параллельны. Проверка: (A+B)/2=(1; −1).

Ответы и обратная проверка — ступень II

1. 7. B=(2·−1−(−4); 2·3−(7))=(2; −1). Векторы AB=(6; −8), CD=(18; −24). Определитель 6·−24−−8·18=0; отрезки параллельны. Проверка: (A+B)/2=(−1; 3).
2. 8. B=(2·5−(3); 2·−2−(−6))=(7; 2). Векторы AB=(4; 8), CD=(−4; −8). Определитель 4·−8−8·−4=0; отрезки параллельны. Проверка: (A+B)/2=(5; −2).
3. 9. B=(2·2−(−1); 2·1−(−3))=(5; 5). Векторы AB=(6; 8), CD=(14; 16). Определитель 6·16−8·14=−16; отрезки не параллельны. Проверка: (A+B)/2=(2; 1).
4. 10. B=(2·2−(5); 2·1−(5))=(−1; −3). Векторы AB=(−6; −8), CD=(−6; −8). Определитель −6·−8−−8·−6=0; отрезки параллельны. Проверка: (A+B)/2=(2; 1).
5. 11. B=(2·1−(1); 2·0−(−5))=(1; 5). Векторы AB=(0; 10), CD=(1; −10). Определитель 0·−10−10·1=−10; отрезки не параллельны. Проверка: (A+B)/2=(1; 0).
6. 12. B=(2·−5−(−2); 2·−3−(−2))=(−8; −4). Векторы AB=(−6; −2), CD=(−18; −6). Определитель −6·−6−−2·−18=0; отрезки параллельны. Проверка: (A+B)/2=(−5; −3).

Ответы и обратная проверка — ступень III

1. 13. B=(2·2−(8); 2·2−(−4))=(−4; 8). Векторы AB=(−12; 12), CD=(−12; 12). Определитель −12·12−12·−12=0; отрезки параллельны. Проверка: (A+B)/2=(2; 2).
2. 14. B=(2·−2−(−5); 2·5−(2))=(1; 8). Векторы AB=(6; 6), CD=(−5; −6). Определитель 6·−6−6·−5=−6; отрезки не параллельны. Проверка: (A+B)/2=(−2; 5).
3. 15. B=(2·4−(0); 2·0−(4))=(8; −4). Векторы AB=(8; −8), CD=(16; −16). Определитель 8·−16−−8·16=0; отрезки параллельны. Проверка: (A+B)/2=(4; 0).
4. 16. B=(2·3−(3); 2·6−(0))=(3; 12). Векторы AB=(0; 12), CD=(0; −12). Определитель 0·−12−12·0=0; отрезки параллельны. Проверка: (A+B)/2=(3; 6).
5. 17. B=(2·−1−(−6); 2·4−(−1))=(4; 9). Векторы AB=(10; 10), CD=(31; 30). Определитель 10·30−10·31=−10; отрезки не параллельны. Проверка: (A+B)/2=(−1; 4).
6. 18. B=(2·−1−(2); 2·4−(9))=(−4; −1). Векторы AB=(−6; −10), CD=(12; 20). Определитель −6·20−−10·12=0; отрезки параллельны. Проверка: (A+B)/2=(−1; 4).

Разбор характерной ошибки

Ошибочный ход: «Середина M=(x_A+x_B; y_A+y_B)». Пропущено деление пополам. В задачах восстановите B по правильной формуле и убедитесь, что среднее арифметическое координат A и B совпадает с M. Другая ошибка: вычислять наклон вертикального отрезка, деля на нулевую разность x. Вместо этого используйте определитель двух направляющих векторов.