Проверка параллельности по признаку по описанию трёхмерной фигуры — рабочий лист для 10 класса

Математика • 10 класс • Практические карточки • MATH-1790

Учебная цель: проверять признак параллельности по описанию ребёр прямоугольной призмы и обосновывать вывод пространственными данными.

Табличный практикум: читаем пространственную модель

В прямоугольной призме ABCD–A₁B₁C₁D₁ нижнее основание имеет размеры 7×2, высота равна 6. Оси зададим вдоль AB, AD и AA₁. Поэтому у всех точек нижней грани z=0, верхней — z=6, у боковой грани ABB₁A₁ координата y=0, у CDD₁C₁ координата y=2. Никакой рисунок не нужен: таблица хранит достаточно сведений, чтобы применить признак параллельности.

При решении каждой строки требуются два независимых факта. Первый — прямая не пересекает указанную плоскость. Второй — её направление параллельно некоторой прямой в плоскости. Если прямая целиком принадлежит плоскости, привычное выражение «параллельна плоскости» неверно: здесь бесконечно много общих точек. Одной параллельности на схеме недостаточно.

Часть I. Примените признак к описанным рёбрам

1. Прямая A₁B₁ и плоскость ABCD.
2. Прямая CD и боковая плоскость ABB₁A₁.
3. Прямая BC и плоскость ABB₁A₁.
4. Прямая AB и плоскость ABCD.
5. Прямая AA₁ и верхняя плоскость A₁B₁C₁D₁.
6. Прямая AD и плоскость BCC₁B₁.
7. Прямая BB₁ и плоскость DAA₁D₁.
8. Прямая A₁D₁ и плоскость ABCD.

Часть II. Найдите противоречие в готовых выводах

Проверьте утверждения «AC параллельна задней боковой грани» и «A₁B₁ параллельна боковой грани ABB₁A₁». Первое неверно из-за общей точки C, второе — из-за принадлежности прямой всей грани. Сначала отметьте общую точку, затем определите взаимное расположение. Если на чертеже одна линия проходит «позади» другой, это не отменяет настоящего пересечения в конкретной вершине.

9. Прямая AC и плоскость CDD₁C₁.
10. Прямая B₁C₁ и плоскость ABCD.
11. Прямая A₁B₁ и плоскость ABB₁A₁.
12. Прямая AC и плоскость A₁B₁C₁D₁.

Часть III. Решите без подсказок

13. Прямая DD₁ и плоскость BCC₁B₁.
14. Прямая A₁C₁ и плоскость A₁B₁C₁D₁.
15. Прямая BC и плоскость DAA₁D₁.
16. Прямая AB и плоскость CDD₁C₁.

Разбор решений по номерам

1. Параллельны: прямая лежит при z=6, а основание при z=0.
2. Параллельны: CD направлена как AB и лежит при y=2, боковая грань при y=0.
3. Не параллельны: пересекаются в B.
4. Не параллельны: AB целиком содержится в нижнем основании.
5. Не параллельны: пересекаются в A₁.
6. Параллельны: AD при x=0, правая грань при x=7; направление AD совпадает с BC.
7. Параллельны: x=7 для BB₁, а x=0 для левой боковой плоскости.
8. Параллельны: её точки имеют высоту z=6.
9. Не параллельны: точка C принадлежит обеим.
10. Параллельны: лежит в верхнем основании и направлена как BC в нижнем.
11. Не параллельны: прямая целиком принадлежит боковой грани.
12. Параллельны: AC содержится в нижнем основании, не пересекающем верхнее.
13. Параллельны: x=0 у DD₁, x=7 у противоположной грани.
14. Не параллельны: A₁C₁ целиком содержится в верхнем основании.
15. Параллельны: для BC x=7, для левой плоскости x=0; BC направлена как AD.
16. Параллельны: y=0 для AB, а y=2 для задней боковой грани.

Для № 6 возможен и синтетический ответ. AD параллельна BC, причём BC принадлежит боковой грани BCC₁B₁. Поскольку AD не лежит в этой плоскости и не может пересечь её (рёбра расположены на противоположных сторонах призмы), признак выполнен. Координатный аргумент x=0 и x=7 лишь независимо подтверждает вывод. Оба обоснования корректны, если не пропущена проверка отсутствия общей точки.

Для № 9 признаки параллельности не применяются: диагональ AC входит в заднюю грань в точке C. Это наглядное напоминание, почему важно учитывать бесконечное продолжение прямой, а не только расстояние между изображёнными отрезками. Для № 11 существует бесконечно много общих точек, потому что вся A₁B₁ находится в указанной боковой плоскости.

В итоговом ответе ученик должен уметь отличить три статуса: «параллельна», «пересекает в одной точке», «лежит в плоскости». Если предложение «прямая не содержится в плоскости» забыто, доказательство остаётся незавершённым. Эта карточка намеренно тренирует перенос словесных данных в таблицу, а не введение новых пространственных теорем.

Самопроверка решений может идти и в обратном направлении. Назовите в каждой боковой грани по одной прямой, параллельной указанной внешней прямой, и затем найдите простое препятствие их пересечению: различие постоянных координат x, y или z. Для № 7 таким препятствием служат x=7 и x=0, а для № 16 — y=0 и y=2. Так сокращается риск ошибочного применения признака к линии, которая фактически лежит внутри грани.