Проверка параллельности по углам для секущей с наклонными отрезками: рабочий лист для 7 класса

Углублённый практикум: секущая с наклонными отрезками

На чертеже две прямые l и m пересечены одной наклонной прямой t. Видимые части секущей над l, между l и m и под m могут иметь разную длину, но должны лежать на одной прямой. Обозначим верхний внутренний угол справа от t через θ, нижний внутренний справа — φ. Проверяем не видимый наклон на рисунке, а геометрический признак: l ∥ m тогда и только тогда, когда θ + φ = 180°.

Иногда вместо внутреннего φ обозначен внешний нижний угол e, смежный с ним. Тогда e + φ = 180°, а условие параллельности переписывается как θ = e. На каждом уровне требуется назвать используемую пару углов. Обоснование необходимо особенно тогда, когда секущая идёт на чертеже под большим углом и визуально вводит в заблуждение.

Уровень I — быстрый контроль восьми чертежей

Во всех восьми случаях θ и φ являются внутренними односторонними и даны точно. Определите, доказана ли параллельность, а если нет — сколько градусов недостаёт до 180° или превышает эту сумму.

1. На рисунке 1 верхний угол θ = 64°, нижний φ = 116°. Найдите сумму и сделайте вывод.
2. На рисунке 2 верхний угол θ = 71°, нижний φ = 110°. Найдите сумму и сделайте вывод.
3. На рисунке 3 верхний угол θ = 95°, нижний φ = 85°. Найдите сумму и сделайте вывод.
4. На рисунке 4 верхний угол θ = 117°, нижний φ = 62°. Найдите сумму и сделайте вывод.
5. На рисунке 5 верхний угол θ = 43°, нижний φ = 137°. Найдите сумму и сделайте вывод.
6. На рисунке 6 верхний угол θ = 88°, нижний φ = 94°. Найдите сумму и сделайте вывод.
7. На рисунке 7 верхний угол θ = 128°, нижний φ = 52°. Найдите сумму и сделайте вывод.
8. На рисунке 8 верхний угол θ = 101°, нижний φ = 77°. Найдите сумму и сделайте вывод.

Уровень II — восемь уравнений

Найдите x, при котором прямые стали бы параллельными. Сначала сложите выражения для θ и φ, приравняйте сумму к 180°, затем подставьте x и убедитесь, что оба угла допустимы.

1. θ = (2x + 18)°, φ = (3x + 42)°. Найдите x и оба угла.
2. θ = (4x + 6)°, φ = (x + 49)°. Найдите x и оба угла.
3. θ = (3x − 7)°, φ = (2x + 42)°. Найдите x и оба угла.
4. θ = (x + 58)°, φ = (2x + 32)°. Найдите x и оба угла.
5. θ = (5x − 11)°, φ = (3x + 31)°. Найдите x и оба угла.
6. θ = (2x + 45)°, φ = (4x + 15)°. Найдите x и оба угла.
7. θ = (7x + 4)°, φ = (2x + 41)°. Найдите x и оба угла.
8. θ = (4x − 6)°, φ = (2x + 30)°. Найдите x и оба угла.

Уровень III — восемь задач с несколькими условиями

В этом разделе нужно самому определить, даны смежные, односторонние или внешние углы. В последней задаче проверьте также, действительно ли наклонные части образуют одну прямую.

1. Внешний угол, смежный с θ, равен 113°; нижний внутренний φ = 113°. Параллельны ли прямые?
2. Верхний внешний, смежный с θ, равен 126°; φ = 124°. Выберите верный вывод.
3. Внутренние односторонние углы относятся как 2 : 3. Если прямые параллельны, найдите оба.
4. θ = (3x + 9)°, а внешний нижний e = (5x − 21)°. При каком x линии параллельны?
5. θ = (2x + 30)°, e = (3x + 6)°. Найдите x, если известно, что прямые параллельны.
6. θ = 42°, e = 41°. Учитель требует точной проверки, без допуска измерений. Что скажете?
7. θ = (2x + 20)°, φ = (4x − 2)°. Вычислите x для параллельности и проверьте значения углов.
8. На чертеже две наклонные части t₁ и t₂ встречаются с изломом в точке K. При первой отмечен θ = 70°, при второй φ = 110°. Достаточно ли суммы 180° для доказательства l ∥ m?

Полный ключ к уровням

Уровень I

1. 64° + 116° = 180°. Прямые параллельны: сумма ровно 180°.
2. 71° + 110° = 181°. Параллельность не следует, отклонение 1°.
3. 95° + 85° = 180°. Прямые параллельны: сумма ровно 180°.
4. 117° + 62° = 179°. Параллельность не следует, отклонение 1°.
5. 43° + 137° = 180°. Прямые параллельны: сумма ровно 180°.
6. 88° + 94° = 182°. Параллельность не следует, отклонение 2°.
7. 128° + 52° = 180°. Прямые параллельны: сумма ровно 180°.
8. 101° + 77° = 178°. Параллельность не следует, отклонение 2°.

Уровень II

1. При параллельности (2x + 18) + (3x + 42) = 180; x = 24, θ = 66°, φ = 114°. Проверка: 66 + 114 = 180.
2. При параллельности (4x + 6) + (x + 49) = 180; x = 25, θ = 106°, φ = 74°. Проверка: 106 + 74 = 180.
3. При параллельности (3x − 7) + (2x + 42) = 180; x = 29, θ = 80°, φ = 100°. Проверка: 80 + 100 = 180.
4. При параллельности (x + 58) + (2x + 32) = 180; x = 30, θ = 88°, φ = 92°. Проверка: 88 + 92 = 180.
5. При параллельности (5x − 11) + (3x + 31) = 180; x = 20, θ = 89°, φ = 91°. Проверка: 89 + 91 = 180.
6. При параллельности (2x + 45) + (4x + 15) = 180; x = 20, θ = 85°, φ = 95°. Проверка: 85 + 95 = 180.
7. При параллельности (7x + 4) + (2x + 41) = 180; x = 15, θ = 109°, φ = 71°. Проверка: 109 + 71 = 180.
8. При параллельности (4x − 6) + (2x + 30) = 180; x = 26, θ = 98°, φ = 82°. Проверка: 98 + 82 = 180.

Уровень III

1. θ = 67°, 67° + 113° = 180°: да.
2. θ = 54°, сумма θ + φ = 178°: нет.
3. 72° и 108°: разделили 180° на пять частей; оба угла допустимы.
4. x = 15, θ = e = 54°, φ = 126°.
5. x = 24, θ = e = 78°, φ = 102°.
6. Нет: φ = 139°, θ + φ = 181°.
7. x = 27, θ = 74°, φ = 106°, оба лежат между 0° и 180°.
8. Нет: t₁ и t₂ — не одна прямая-секущая; признак по односторонним углам в таком виде неприменим. Нужно доказать коллинеарность отрезков либо выбрать другую секущую.

Два принципиальных ограничения. Равенство суммы 180° даёт признак только при фиксированной геометрической конфигурации: пара внутренних односторонних углов, общая секущая и две проверяемые прямые. Если одно из условий нарушено, число 180° ничего не доказывает. Значение x, при котором выражения дают 180°, само по себе не означает, что на исходном рисунке линии уже параллельны: это условие на угол, при котором они были бы параллельны.

Почему один и тот же наклон на бумаге не является доказательством

Наклонная линия может пересекать верхнюю прямую в точке A, а нижнюю — в точке B. Признак параллельности относится к двум углам, образованным одной прямой AB и каждой из проверяемых прямых. При этом длина AB может быть какой угодно; она не входит ни в формулу суммы углов, ни в равенство для внешнего угла. Если между точками A и B нарисован излом, появляются две разные прямые. Тогда уже нельзя пользоваться одной парой внутренних односторонних углов без дополнительных данных.

Разберём пример такой ошибки. Вверху стержень образует с l угол 62°, а внизу другой, повернутый стержень образует с m угол 118°. Хотя численно 62° + 118° = 180°, линии l и m могут оказаться непараллельными. Повернув только нижнюю часть стержня, можно менять один угол независимо от другого. Угловой признак становится законным только после подтверждения, что верхний и нижний участки принадлежат одной прямой t.

Как решать задания с переменной

Возьмём уравнение из третьего задания второго уровня: θ = 3x − 7, φ = 2x + 42. Складываем именно внутренние односторонние: 3x − 7 + 2x + 42 = 180. Получаем 5x + 35 = 180, поэтому x = 29. Обратная проверка даёт θ = 80°, φ = 100° и сумму 180°. Обе меры лежат в допустимых пределах от 0° до 180°, значит, вычисление не породило невозможного значения. Если бы одна мера получилась отрицательной, числовое решение пришлось бы отвергнуть как несовместимое с геометрическим смыслом.

Пятое задание третьего уровня требует иного начала. Указаны θ = 2x + 30 и нижний внешний угол e = 3x + 6. Их не надо складывать: условие параллельности имеет вид θ = e. Следовательно, 2x + 30 = 3x + 6, x = 24. После подстановки θ = e = 78°, а смежный с e нижний внутренний равен 102°. Получаем уже знакомую проверку 78° + 102° = 180°. Видно, что два способа приводят к одному результату, если типы углов распознаны правильно.

Дополнительные рассуждения для сильных учеников

Отличайте условие достаточности от простого наблюдения. Когда на рисунке видно две примерно параллельные линии, это ещё не теорема. А когда измеренные точно внутренние односторонние углы дают 180°, можно сослаться на обратную теорему о сумме внутренних односторонних углов. Аналогично из найденного решения x нельзя автоматически делать заключение, что исходная конструкция уже находится в нужном положении: x сообщает, какое положение требуется.

В заданиях первого уровня полезно отдельно записать знак отклонения. Если сумма 177°, не хватает 3° до 180°. Если сумма 182°, имеются лишние 2°. Это не разные геометрические признаки; просто удобный способ обнаружить, куда ушла арифметическая ошибка. Ни в одном случае без допущенной погрешности нельзя объявлять прямые параллельными из-за «малой» разницы. Для математической задачи допустимость округления должна быть прямо указана.

Можно усложнить самопроверку: для каждого случая с двумя внутренними углами найдите внешний угол e при нижнем пересечении. Если θ + φ = 180°, должно получиться e = θ. Если две проверки расходятся, значит, неверно посчитан либо один из смежных углов, либо сумма. Такая двойная проверка особенно помогает при работе с длинными линейными выражениями из второго уровня.

Оформление развернутого ответа

Хорошее решение состоит из трёх частей. Первая: точное указание, где расположены углы на схеме и какой признак применяется. Вторая: преобразование чисел либо решение уравнения. Третья: обратная подстановка и вывод. Для доказательства непараллельности достаточно привести нарушение необходимого равенства при правильно выбранных углах; не надо вычислять длину секущей, строить ещё один треугольник или оценивать рисунок на глаз.

При перепроверке обратите внимание на слово «смежный»: оно означает общую сторону и две другие стороны — противоположные лучи. Недостаточно, чтобы углы просто оказались рядом на рисунке. Только для действительно смежной пары сумма всегда составляет 180°. Этот тест защищает от ошибочных вычислений в наиболее сложном третьем уровне.