Проверка параллельности по углам при дополнительном угле — мини-практикум с ответами, 7 класс

Почему дополнительный угол может ввести в заблуждение

Начните с ошибочного решения. Две прямые l и m пересечены одной прямой t. У верхнего пересечения внутренний угол справа от секущей называется θ; у нижнего пересечения внутренний угол справа называется φ. Эти два угла — внутренние односторонние. У нижнего пересечения угол e смежен с φ и поэтому φ + e = 180°. Некоторые ученики по привычке складывают θ и e, хотя они не образуют нужную пару.

Правильный алгоритм: сначала выясните, какой именно угол измерен и с какой стороны от t он лежит. Если даны θ и φ, проверяйте θ + φ = 180°. Если даны θ и e, проверяйте θ = e, потому что φ = 180° − e. Обратные выводы верны для двух различных прямых на плоскости, пересечённых одной секущей.

Пять ошибок: объясните, что перепутано

1. Даны верхний внутренний угол θ = 63° и внешний смежный с нижним внутренним e = 63°. Ученик пишет: «Не параллельны, ведь 63 + 63 ≠ 180». Найдите ошибку и исправьте вывод.
2. θ = 114°, e = 66°. Ученик объявляет прямые параллельными, потому что θ + e = 180°. Найдите ошибку и исправьте вывод.
3. θ = 88°, e = 88°. Ученик считает, что одинаковые числа не помогают: «Надо обязательно знать оба внутренних». Найдите ошибку и исправьте вывод.
4. θ = 71°, φ = 109°. Ученик называет φ дополнительным к θ «до 90°» и делает вывод, что параллельности нет. Найдите ошибку и исправьте вывод.
5. θ = 92°, e = 91°. Ученик округляет разницу до 0° и пишет, что прямые параллельны. Найдите ошибку и исправьте вывод.

Десять задач на закрепление

В каждом ответе укажите не только «да» или «нет», но и промежуточный угол: это обнаружит неверное применение признака.

1. θ = 49°, e = 49°. Проверьте параллельность.
2. θ = 120°, e = 60°. Проверьте, не подменяя внешний угол внутренним.
3. θ = 75°, φ = 105°. Назовите признак.
4. θ = 76°, φ = 105°. Каков вывод?
5. θ = (2x + 13)°, e = (3x − 5)°. Найдите x для параллельности.
6. θ = (4x − 7)°, e = (x + 38)°. Найдите x для параллельности.
7. θ = 102°, внешний нижний e = 102°. Найдите φ.
8. θ = 42°, внешний нижний e = 138°. Верно ли заключение «параллельны»?
9. Верхний угол θ = 93°, нижний внутренний φ = 87°. Чему равен e?
10. Ученик измерил θ = 89°, e = 91°. Можно ли доказать параллельность по этим точным данным?

Разбор ошибок 1–5

1. Ошибка в выборе пары: e — внешний, а не нижний внутренний; последний равен 117°. θ + 117° = 180°, прямые параллельны.
2. Неверно: нижний внутренний φ = 180° − 66° = 114°. θ + φ = 228°; параллельности нет.
3. Знание двух внутренних не требуется: φ = 180° − e = 92°, θ + φ = 180°. Параллельность доказана.
4. Дополнительный в данной работе — смежный до 180°, не дополнение до 90°. 71° + 109° = 180°: прямые параллельны.
5. Точность дана до целого градуса и допуск не указан. φ = 89°, сумма 181°; условие параллельности не выполняется.

Ключ к заданиям 6–15

1. Да: φ = 131°, 49° + 131° = 180°.
2. Нет: φ = 120°, сумма θ + φ = 240°.
3. Да: односторонние внутренние углы составляют 180°.
4. Нет: 76° + 105° = 181°.
5. x = 18: θ = 49°, e = 49°, φ = 131°.
6. x = 15: θ = 53°, e = 53°, φ = 127°.
7. φ = 78°, прямые параллельны.
8. Нет: φ = 42°, 42° + 42° = 84°.
9. e = 93°; это также проверяет параллельность.
10. Нет: требуется θ = e, а 89° ≠ 91°; φ = 89°, сумма 178°.

Для проверки измерений нужны условия точности. В этих задачах все числовые значения считаются точными; отклонение даже на 1° не разрешает автоматически считать прямые параллельными. Если угол измерен транспортиром с погрешностью, можно сказать только «приблизительно», но это не геометрическое доказательство.

Проверка признака в обратном направлении

Пусть преподаватель сообщил, что прямые параллельны, а верхний внутренний угол θ равен 67°. Тогда нижний внутренний односторонний φ обязан быть равен 113°, поскольку их сумма 180°. Внешний угол e, смежный с φ, равен 67°. Поэтому по параллельности можно предсказать сразу два значения — φ и e. Если при точном измерении на той же схеме вышло e = 68°, значит, либо измерения заданы с ошибкой, либо условие параллельности не выполняется.

Не следует подменять формулировку «дополнительный к углу до 180°» выражением «дополнительный до 90°». Последнее иногда употребляют для острых взаимно дополняющих углов, но параллельность прямых с одной секущей в этом листе проверяется через 180°. Чтобы не путаться, всегда записывайте промежуточное равенство φ = 180° − e.