Проверка площади боковой поверхности при упаковке в форму призмы — самостоятельная работа, 11 класс

Математика, 11 класс. Цель: проверять боковую площадь призматической упаковки двумя независимыми способами.

Два разных варианта упаковки

В этом листе речь о прямой призме: её боковая площадь равна произведению периметра основания на высоту, Sбок = Pосн·h. При прямоугольном основании a × b периметр 2(a + b). При равностороннем треугольном основании со стороной a периметр 3a. Верхнее и нижнее основания в боковую площадь не включаются даже тогда, когда они изготовлены из того же материала.

Проверим ответ двумя независимыми способами: вычислим Pосн·h и сложим площади отдельных боковых прямоугольников. Если оба метода дают разные числа, ошибка почти наверняка в периметре, единицах измерения или включении оснований.

Вариант А — прямоугольная упаковка

Выполните восемь заданий, затем по крайней мере два ответа проверьте суммой площадей граней.

1. Коробка 6 × 4 × 9 см. Вычислите боковую площадь.
2. При a = 5 см, b = 3 см, h = 8 см найдите площадь четырёх боковых граней.
3. При a = 7 см, b = 2 см, h = 6 см восстановите боковую площадь.
4. Боковая площадь 120 см², основание 4 × 6 см. Найдите h.
5. При h = 5 см и боковой площади 90 см² найдите периметр основания.
6. У коробки 8 × 3 × 5 см ученик получил Sбок = 2·8·3 = 48 см². Исправьте ошибку.
7. Основание 10 × 4 см. Высота выросла с 3 до 6 см. Во сколько раз изменилась боковая площадь?
8. Периметр прямоугольного основания 26 см, сторона a = 8 см. Найдите b.

Вариант Б — упаковка с треугольным основанием

Здесь количество боковых прямоугольников равно трём. Основание не всегда равностороннее: если указаны три разные стороны, нельзя без доказательства умножать одну из них на три.

1. У треугольной призмы сторона равностороннего основания 4 см, высота 10 см. Найдите Sбок.
2. Сторона равностороннего основания 7 см, высота 5 см. Найдите боковую площадь.
3. У треугольной призмы Sбок = 90 см², сторона равностороннего основания 6 см. Найдите высоту.
4. При высоте 8 см боковая площадь треугольной призмы 144 см². Найдите сторону равностороннего основания.
5. У треугольной упаковки стороны основания 3, 4, 5 см, высота 7 см. Найдите Sбок.
6. Стороны основания 5, 5, 6 см, высота 9 см. Найдите боковую площадь.
7. Ученик вычислил 3·5·8 = 120 см² для основания со сторонами 5, 6, 7 см и h = 8 см. В чём ошибка?
8. Сравните боковые площади: прямоугольная коробка 5 × 4 × 6 см и треугольная призма с основанием 3, 4, 5 см и высотой 9 см.

Взаимная проверка: ключ и две стратегии

Вариант А

1. P = 2(6 + 4) = 20 см, S = 20·9 = 180 см².
2. Две грани 5·8 и две 3·8: 80 + 48 = 128 см².
3. 2(7 + 2)·6 = 108 см².
4. h = 120/[2(4 + 6)] = 6 см.
5. P = 90/5 = 18 см.
6. Он вычислил сумму площадей оснований: Sбок = 2(8 + 3)·5 = 110 см².
7. Удвоение h удваивает S: с 84 до 168 см². Ответ: в 2 раза.
8. 2(8 + b) = 26; b = 5 см.

Вариант Б

1. P = 3·4 = 12 см; Sбок = 120 см².
2. 3·7·5 = 105 см².
3. h = 90/(3·6) = 5 см.
4. a = 144/(3·8) = 6 см.
5. P = 3 + 4 + 5 = 12 см; Sбок = 84 см². Равносторонность не требуется.
6. (5 + 5 + 6)·9 = 144 см².
7. Основание не равностороннее: P = 5 + 6 + 7 = 18; Sбок = 144 см².
8. Прямоугольная: 2(5 + 4)·6 = 108 см²; треугольная: (3 + 4 + 5)·9 = 108 см². Площади равны.

Сравните последнее задание: равные площади боковой поверхности ещё не означают равенство объёмов или полной площади упаковок. Для проверки реального расхода материала необходимо отдельно выяснить, будут ли закрыты основания и предусмотрены ли припуски на швы; эти данные не входят в формулу боковой поверхности.

Учителю: при оценивании различайте три ошибки — неправильный периметр основания, применение формулы полной поверхности вместо боковой и потеря единиц измерения. Верным считается результат с объяснением выбранного периметра и двумя согласованными вычислениями.

Почему сравнение двух методов обнаруживает ошибку

Возьмём прямоугольную коробку с основанием 5 × 4 см и высотой 6 см. Периметр основания равен 18 см, поэтому боковая площадь 108 см². Если развернуть четыре боковые грани, получатся два прямоугольника 5 × 6 и два 4 × 6 см. Их площади 30, 30, 24 и 24 см² снова дают 108 см². Это не другая формула, а независимое представление того же геометрического объекта.

Для треугольной призмы действуем аналогично: площадь каждой боковой грани равна соответствующей стороне основания, умноженной на высоту призмы. Если стороны основания 3, 4 и 5 см при высоте 9 см, сумма 27 + 36 + 45 = 108 см². Нельзя заменить 3 + 4 + 5 на 3·3: основание не равностороннее. Именно поэтому рисунок или явно записанный набор сторон нужен до вычисления площади.