Проверка полноты перебора для кода из двух разных символов — математический практикум для 6 класса

Рабочий лист, 6 класс. Цель — проверить, что список двухсимвольных кодов полон, не содержит повторов и не включает кодов с одинаковыми символами. Позиции в коде различаются: АБ и БА — два разных кода. Ниже даны два независимых варианта для печати и ключ учителя. Никаких программ и случайного подбора не требуется.

Краткая памятка: как доказывать полноту

Если доступны n разных символов, для первой позиции есть n возможностей, а для второй — n − 1 (второй символ не равен первому). Всего n × (n − 1) кодов. Но совпадение количества с формулой ещё не доказывает полноты: если один код записан дважды, а другой пропущен, число строк может быть правильным. Надёжная проверка — пройти все варианты по первому символу и внутри каждой группы перечислить все возможные вторые символы. Сравнивайте именно разные коды.

Вариант А. Код из букв А, Б, В, Г

Код содержит ровно два разных символа из множества {А, Б, В, Г}. Сначала выполните задания без подсматривания в ответы. Для задач о неполном перечне не упускайте различие порядка.

1. Укажите число вариантов с первой буквой А и объясните, почему нельзя поставить А на второе место.
2. Допишите к перечню «АБ, АВ, АГ, БА, БВ, БГ, ВА, ВБ, ГА, ГБ, ГВ» один недостающий код.
3. Сколько всего двухсимвольных кодов получится, если перебрать все первые буквы?
4. Проверьте список «АБ, АВ, АГ, БА, БВ, БГ, ВА, ВБ, ВГ, ГА, ГБ, ГВ, АБ»: есть ли пропуск и есть ли повтор?
5. Верно ли утверждение, что «АБ» и «БА» можно считать одним вариантом? Обоснуйте.
6. Назовите все коды, у которых первая буква Г.
7. Назовите все коды, у которых вторая буква В.
8. Ученик выписал ровно 12 строк, причём дважды код «БГ», и утверждает, что перебор полный. Найдите логический изъян.
9. Перечислите все допустимые коды, не содержащие букву А.
10. Выпишите все коды с первой буквой В и проверьте, что их столько же, сколько с первой буквой Б.

Вариант Б. Цифровые коды, включая начальный ноль

В коде разрешён ноль даже в первой позиции: «02» — полноценный код, а не число 2. Используются 0, 1, 2, 3, 4, два символа должны отличаться. Этот вариант выполняется отдельно от буквенного: здесь полезно сортировать варианты по первому знаку.

11. Сколько двузначных кодов можно составить из 0, 1, 2, 3, 4 без повторения знаков?
12. Перечислите все коды, начинающиеся с 0.
13. Перечислите все коды, заканчивающиеся цифрой 4.
14. В неполном наборе «01, 02, 04» для первого символа 0 восстановите отсутствующий вариант.
15. В перечне «10, 12, 13, 14» найдите повтор или подтвердите полноту для начального символа 1.
16. Укажите, какое из «00, 03, 30, 22, 42» не нарушает правило разных символов.
17. Как изменится число кодов, если кодам с начальным 0 запретить участие в списке?
18. Ученик записал 20 строк, но среди них «22» и «23». Достаточно ли этого для подтверждения полноты?
19. Составьте полный список из четырёх кодов, начинающихся с 4.
20. Объясните двумя способами, почему без повторов всего 20 вариантов: через группы и через правило произведения.

Ключ учителя и проверка правильности

Ответы варианта А: 1–10

1. Три: АБ, АВ, АГ; второй символ обязан отличаться от первого, поэтому АА запрещён.
2. Не хватает ВГ. Проверьте группу первой буквы В: ВА, ВБ, ВГ.
3. 12, потому что 4 возможные первые буквы × 3 разные вторые буквы = 12.
4. Пропуска нет: все 12 разных кодов присутствуют. Есть лишний повтор «АБ», то есть 13 строк и лишь 12 различных результатов.
5. Неверно. Для кода порядок символов значим: первая и вторая позиции имеют разные роли.
6. ГА, ГБ, ГВ — три кода, повтор ГГ запрещён.
7. АВ, БВ, ГВ — три кода; ВВ содержит одинаковые символы.
8. Количество строк не означает полноту: повтор «БГ» занял место одной отсутствующей пары. Нужно проверить уникальность и сверить группы по первым буквам.
9. БВ, БГ, ВБ, ВГ, ГБ, ГВ. Выбираем первый символ из трёх и второй из двух оставшихся: 3 × 2 = 6.
10. ВА, ВБ, ВГ. Также три кода с начальной Б: БА, БВ, БГ.

Ответы варианта Б: 11–20

11. 5 × 4 = 20 кодов, включая те, что начинаются с 0.
12. 01, 02, 03, 04; код 00 недопустим.
13. 04, 14, 24, 34 — четыре кода.
14. Пропущен «03», группа нулевого префикса должна содержать четыре кода.
15. Это ровно все четыре кода с первым символом 1, повторов нет.
16. Допустимы 03, 30 и 42. Недопустимы 00 и 22.
17. Было 20, удаляем четыре кода с первым 0: остаётся 16.
18. Нет. Запрещённый «22» уже делает перечень неверным; вдобавок нужно установить, не повторяются ли другие записи и все ли допустимые варианты охвачены.
19. 40, 41, 42, 43 — четыре кода.
20. Пять групп по первому символу по четыре кода дают 5 × 4 = 20; независимо выбираем один из 5 первых и один из 4 отличных вторых.

При проверке зачтите не только итоговое число, но и доказательство, что перечень не содержит повторов и покрывает каждую допустимую группу. Если ученик правильно применил 4 × 3, но пропустил «ВГ», у него верна формула, однако неверен сам список. Начальный ноль во втором варианте разрешён только потому, что речь идёт о кодах, а не о записи двузначных чисел.