Проверка полноты перебора при условии «один вариант нельзя»: тематические карточки для 6 класса

Исследовательский урок, 6 класс. В каждом опыте рассматривается конечное множество вариантов, и ровно один конкретный исход запрещён. Учимся не только вычитать единицу из числа возможностей, но и доказывать, что запрещённый исход вообще принадлежал исходному набору. Составлять громоздкий список необязательно: таблица и осмысленная проверка надёжнее.

Задача-наблюдение: лишняя клетка в таблице

Для шифра выбирают знак из {К, Л, М} и номер из {1, 2, 3, 4}. Без ограничений образуется 3 × 4 = 12 разных пар. Составитель объявил: «М3 использовать нельзя». Это запрет одной конкретной клетки — пересечения строки М и столбца 3. Значит, допустимы 11 пар. При этом «М1», «К3» и «Л3» по-прежнему разрешены.

Сформулируйте правило сами: если было N различных допустимых вариантов и запрещён ровно один из них, остаётся N − 1. Но из количества нельзя вычитать один, если запрет касается варианта, которого никогда не было, либо если фраза «нельзя» описывает сразу целую группу сочетаний.

Исследуйте 14 ситуаций

1. Символ из {А, Б} и обозначение из {1, 2, 3}. Запрещён один полный вариант «Б2». Сколько допустимых сочетаний? Укажите формулу.
2. В полном переборе из {Х, У, Я} × {4, 5} вычеркнули «Х4». Сколько клеток останется? Почему нельзя дополнительно вычёркивать варианты из его строки?
3. Пары строятся по порядку: сначала один из {Р, С, Т, У}, затем один из {a, b, c}. Одно сочетание «Сb» недоступно. Вычислите число разрешённых пар, не выписывая все пары.
4. Участник утверждает, что после запрета «Л0» из набора {К, Л, М} × {0, 1, 2, 3} останется 10 вариантов. Проверьте и исправьте.
5. Символ из {Д, Е, Ж} и обозначение из {5, 6, 7, 8, 9}. Запрещён один полный вариант «Е8». Сколько допустимых сочетаний? Укажите формулу.
6. В полном переборе из {Б, В, Г, Д} × {1, 2} вычеркнули «Д1». Сколько клеток останется? Почему нельзя дополнительно вычёркивать варианты из его строки?
7. Пары строятся по порядку: сначала один из {P, Q}, затем один из {x, y, z, w}. Одно сочетание «Qw» недоступно. Вычислите число разрешённых пар, не выписывая все пары.

Контрпример: когда нельзя просто вычитать единицу

Если в исходном наборе нет варианта «А9» (цифры доступны только 1, 2, 3), запись «А9 запрещён» не уменьшает множество. А запрет «все варианты с буквой А» убирает сразу столько пар, сколько есть вариантов второй позиции. Нельзя путать один полный код с одним символом, встречающимся в разных кодах.

8. Участник утверждает, что после запрета «На» из набора {М, Н, О} × {а, б, в} останется 7 вариантов. Проверьте и исправьте.
9. Символ из {A, B, C, D, E} и обозначение из {1, 2, 3}. Запрещён один полный вариант «C3». Сколько допустимых сочетаний? Укажите формулу.
10. В полном переборе из {Ф, Ц, Ч} × {2, 4, 6, 8} вычеркнули «Ч8». Сколько клеток останется? Почему нельзя дополнительно вычёркивать варианты из его строки?
11. Пары строятся по порядку: сначала один из {Т, У}, затем один из {0, 1, 2, 3, 4}. Одно сочетание «Т3» недоступно. Вычислите число разрешённых пар, не выписывая все пары.
12. Участник утверждает, что после запрета «Лc» из набора {И, К, Л, М} × {a, b, c, d} останется 14 вариантов. Проверьте и исправьте.
13. Символ из {A, B, C} и обозначение из {x, y, z, t}. Запрещён один полный вариант «Bx». Сколько допустимых сочетаний? Укажите формулу.
14. В полном переборе из {Г, Д, Е, Ж, З} × {0, 1} вычеркнули «З0». Сколько клеток останется? Почему нельзя дополнительно вычёркивать варианты из его строки?

Разберите утверждения и обобщите правило

Верно: «если запрещён ровно один существовавший исход, число допустимых исходов уменьшается на один». Неверно: «любое слово нельзя означает минус один». Чтобы использовать формулу, сначала спросите: сколько различных исходов было до ограничения и сколько именно из них удалено? Если одна и та же пара указана запрещённой дважды, она всё равно удаляется один раз. Двойное вычитание приводит к ошибке.

Ключ и обоснования

1. Без запрета 2 × 3 = 6. «Б2» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 5. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.
2. Без запрета 3 × 2 = 6. «Х4» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 5. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.
3. Без запрета 4 × 3 = 12. «Сb» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 11. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.
4. Без запрета 3 × 4 = 12. «Л0» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 11. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.
5. Без запрета 3 × 5 = 15. «Е8» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 14. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.
6. Без запрета 4 × 2 = 8. «Д1» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 7. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.
7. Без запрета 2 × 4 = 8. «Qw» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 7. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.
8. Без запрета 3 × 3 = 9. «На» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 8. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.
9. Без запрета 5 × 3 = 15. «C3» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 14. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.
10. Без запрета 3 × 4 = 12. «Ч8» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 11. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.
11. Без запрета 2 × 5 = 10. «Т3» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 9. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.
12. Без запрета 4 × 4 = 16. «Лc» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 15. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.
13. Без запрета 3 × 4 = 12. «Bx» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 11. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.
14. Без запрета 5 × 2 = 10. «З0» действительно входит в исходное множество; удалена только одна клетка. Итого 9. Другие клетки его строки и столбца не запрещены.

Обратная проверка: для каждого задания к ответу прибавьте одну запрещённую пару. Вы снова получите произведение числа значений первого и второго признака. Например, когда 4 варианта первого признака и 3 второго, исходное количество 12, после запрета конкретной пары — 11; 11 + 1 = 12. Так проверяется количество, а для проверки полноты конкретного списка нужно ещё убедиться, что не пропущены другие пары.