Проверка предложенного корня подстановкой с дробными коэффициентами — упражнения разной сложности, 6 класс

6 класс · доказательные упражнения с дробями. Дано не само решение уравнения, а гипотеза о корне. Её нужно подтвердить или опровергнуть равенством вычисленных значений левой и правой частей.

Подозрительное утверждение

«Если в записи встречаются дробные коэффициенты, то достаточно приблизительно подсчитать одну сторону». Это неверно: даже разница в 1/12 делает проверку неуспешной. Подстановка — проверка точного равенства; числитель и знаменатель требуют одинаковой аккуратности, а знак «−» относится ко всему числу.

Почему подстановка доказывает ответ

Корнем уравнения называют такое число, которое после подстановки вместо x превращает равенство в верное числовое равенство. Не нужно предварительно преобразовывать всё уравнение и искать x заново. Выполните два независимых вычисления: L(x) — левая часть и R(x) — правая. При L(x)=R(x) число подходит; при L(x)≠R(x) оно не является корнем. Проверка одного предложенного значения ещё не показывает, существуют ли другие корни.

Например, в (1/2)x − 1/3 = (1/6)x + 1/3 предложено x=2: слева 1−1/3=2/3, справа 1/3+1/3=2/3. Значит, 2 — корень. Если предложено x=1, получаются 1/6 и 1/2; различие опровергает гипотезу. Мы сравниваем дроби после приведения к общему знаменателю, а не только их числители.

Для записи со знаком «−» перед коэффициентом полезно сначала отдельно вычислить произведение, затем прибавить свободный член. Если x отрицателен, два минуса при умножении дают плюс. Не подменяйте проверку утверждением «похоже на ответ»: каждый вывод должен иметь две числовые стороны.

Уровень I — проверки с простыми знаменателями

1. Условие 1. В уравнении (1/2)·x +1/3 = (0)·x +2/3 предложен корень x = 2/3. Подставьте без округления и объясните, сохраняется ли равенство. Укажите обе вычисленные стороны.
2. Условие 2. В уравнении (3/4)·x −1/2 = (1/4)·x +7/4 предложен корень x = 5/2. Подставьте без округления и объясните, сохраняется ли равенство. Укажите обе вычисленные стороны.
3. Условие 3. В уравнении (−2/3)·x +5/6 = (1/6)·x +25/12 предложен корень x = −3/2. Подставьте без округления и объясните, сохраняется ли равенство. Проверьте знак отрицательной дроби.
4. Условие 4. В уравнении (5/4)·x −2/5 = (1/2)·x +4/5 предложен корень x = 8/5. Подставьте без округления и объясните, сохраняется ли равенство. Укажите обе вычисленные стороны.

Уровень II — отрицательные коэффициенты и обе стороны

5. Условие 5. В уравнении (1/6)·x +3/4 = (2/3)·x −3/2 предложен корень x = 9/2. Подставьте без округления и объясните, сохраняется ли равенство. Укажите обе вычисленные стороны.
6. Условие 6. В уравнении (−3/5)·x −1/2 = (1/10)·x −5/3 предложен корень x = 5/3. Подставьте без округления и объясните, сохраняется ли равенство. Проверьте знак отрицательной дроби.
7. Условие 7. В уравнении (7/8)·x +1/4 = (1/8)·x +39/28 предложен корень x = −8/7. Подставьте без округления и объясните, сохраняется ли равенство. Укажите обе вычисленные стороны.
8. Условие 8. В уравнении (−5/6)·x +1/3 = (−1/3)·x −4/15 предложен корень x = 6/5. Подставьте без округления и объясните, сохраняется ли равенство. Укажите обе вычисленные стороны.

Уровень III — выдвиньте доказательство или контрпример

9. Условие 9. В уравнении (2/7)·x −3/4 = (−1/7)·x +3/4 предложен корень x = 7/2. Подставьте без округления и объясните, сохраняется ли равенство. Укажите обе вычисленные стороны.
10. Условие 10. В уравнении (4/9)·x +5/3 = (1/9)·x +23/12 предложен корень x = −9/4. Подставьте без округления и объясните, сохраняется ли равенство. Укажите обе вычисленные стороны.
11. Условие 11. В уравнении (−3/8)·x +7/12 = (−1/4)·x +5/12 предложен корень x = 4/3. Подставьте без округления и объясните, сохраняется ли равенство. Проверьте знак отрицательной дроби.
12. Условие 12. В уравнении (5/12)·x −1/6 = (1/3)·x −19/15 предложен корень x = −6/5. Подставьте без округления и объясните, сохраняется ли равенство. Укажите обе вычисленные стороны.

Особые случаи для обсуждения

Если при вычислении получилось одинаковое число с обеих сторон, гипотеза подтверждена именно для данного x, даже если оно отрицательно или дробно. Если в обеих частях одновременно встретилось число 0, то равенство 0=0 тоже верно. Если коэффициенты при x равны, свободные члены могут совпасть (тогда корнями станут все числа) или различаться (тогда корней нет); это не изменяет правил проверки отдельного кандидата.

При вычислении произведения отрицательных дробей сначала перемножьте знаки, затем числители и знаменатели. Сокращать дробь допустимо, но только на общий ненулевой множитель. Число в знаменателе самой дроби не может быть нулём; в этих двенадцати упражнениях знаменатели постоянны и положительны.

Ключ — точные подстановки и вывод

1. При x = 2/3: левая часть (1/2)·(2/3) +1/3 = 2/3; правая (0)·(2/3) +2/3 = 2/3. Значит, корень подходит.
2. При x = 5/2: левая часть (3/4)·(5/2) −1/2 = 11/8; правая (1/4)·(5/2) +7/4 = 19/8. Значит, корень не подходит: разность сторон −1, а не 0.
3. При x = −3/2: левая часть (−2/3)·(−3/2) +5/6 = 11/6; правая (1/6)·(−3/2) +25/12 = 11/6. Значит, корень подходит.
4. При x = 8/5: левая часть (5/4)·(8/5) −2/5 = 8/5; правая (1/2)·(8/5) +4/5 = 8/5. Значит, корень подходит.
5. При x = 9/2: левая часть (1/6)·(9/2) +3/4 = 3/2; правая (2/3)·(9/2) −3/2 = 3/2. Значит, корень подходит.
6. При x = 5/3: левая часть (−3/5)·(5/3) −1/2 = −3/2; правая (1/10)·(5/3) −5/3 = −3/2. Значит, корень подходит.
7. При x = −8/7: левая часть (7/8)·(−8/7) +1/4 = −3/4; правая (1/8)·(−8/7) +39/28 = 5/4. Значит, корень не подходит: разность сторон −2, а не 0.
8. При x = 6/5: левая часть (−5/6)·(6/5) +1/3 = −2/3; правая (−1/3)·(6/5) −4/15 = −2/3. Значит, корень подходит.
9. При x = 7/2: левая часть (2/7)·(7/2) −3/4 = 1/4; правая (−1/7)·(7/2) +3/4 = 1/4. Значит, корень подходит.
10. При x = −9/4: левая часть (4/9)·(−9/4) +5/3 = 2/3; правая (1/9)·(−9/4) +23/12 = 5/3. Значит, корень не подходит: разность сторон −1, а не 0.
11. При x = 4/3: левая часть (−3/8)·(4/3) +7/12 = 1/12; правая (−1/4)·(4/3) +5/12 = 1/12. Значит, корень подходит.
12. При x = −6/5: левая часть (5/12)·(−6/5) −1/6 = −2/3; правая (1/3)·(−6/5) −19/15 = −5/3. Значит, корень не подходит: разность сторон 1, а не 0.

Как защитить своё решение

Не достаточно написать только «да» или «нет». Покажите расчёт каждой стороны, их сравнение и короткое заключение. Например: «L=5/6, R=−1/6; поскольку 5/6≠−1/6, предложенное число не подходит». Такая форма ответа проверяет не способность угадать, а умение аргументировать. Если дроби имеют разные знаменатели, приведите их к общему знаменателю или используйте корректное сокращение.

Для самостоятельного контроля выберите одно ложное утверждение из упражнений и измените только свободный член в правой части так, чтобы предложенное число стало корнем. Новое число должно совпасть с L(x)−d·x. Объясните, почему это исправление делает равенство точным. Это дополнительная исследовательская проверка, а не новый обязательный пример в оценке.