Проверка преобразования тождества для выражения с тангенсом — самостоятельная работа, 10 класс

Самостоятельная работа с обратной проверкой

На уроке часто упрощают выражение до красивого результата и останавливаются. В этой работе каждый шаг проверяется обратно: разверните правую часть в синусы и косинусы, приведите дроби к общему знаменателю и убедитесь, что вы получили исходную левую часть. Ограничения нужно брать из исходной записи, а не из последней упрощённой формулы.

Разобранный пример — когда равенство верно не для всех

Пусть (1−tg²x)/(1+tg²x) = cos 2x. Подставим tg x = sin x/cos x: дробь становится (cos²x−sin²x)/(cos²x+sin²x) = cos 2x. Однако мы использовали tg x, поэтому cos x ≠ 0. Это не тождество на всей числовой прямой, хотя cos 2x определён везде. Обратная проверка: возьмём x=0, получаем 1 с обеих сторон; x=π/2 не допускается исходным тангенсом.

Измените условие: появился новый делитель

Сравним выражения tg x и tg²x/tg x. Они совпадают там, где обе дроби существуют. Но у второго дополнительно запрещены точки sin x = 0, потому что tg x стоит в знаменателе. Таким образом, сокращение не делает область исходного выражения шире. При восстановлении пропущенных множителей и при проверке тождеств действует одна и та же дисциплина: никакого деления на нуль.

Вариант А — проверка простых тождеств и ограничений

1. Проверьте (sin x+cos x)/cos x = tg x+1.
2. Ученик пишет tg x·cos x=sin x на всей ℝ. Уточните утверждение.
3. Проверьте 1+tg²x=1/cos²x.
4. Вычислите (1−tg²x)/(1+tg²x) через двойной угол.
5. Верно ли 2tg x/(1+tg²x)=sin 2x?
6. Ученик сокращает (tg x)²/tg x до tg x и разрешает x=0. Найдите ошибку.
7. Проверьте tg x + 1/tg x = 1/(sin x cos x).
8. Проверьте (1−cos²x)/cos²x = tg²x.

Вариант Б — две переменные, обратная проверка и ошибки

9. Выполните обратную проверку (tg x−tg y)/(1+tg x tg y)=tg(x−y).
10. Проверьте (tg x+tg y)/(1−tg x tg y)=tg(x+y).
11. Верно ли tg²x−1 = (sin²x−cos²x)/cos²x?
12. Из равенства tg x=sin x/cos x ученик делает вывод tg(π/2)=1/0=∞. Исправьте.
13. Проверьте (1−tg²x)/(1+tg²x)=1−2sin²x.
14. Ученик вывел (tg x+1)cos x=sin x+cos x и утверждает обратное для всех x.
15. Проверьте tg x·sin 2x = 2sin²x.
16. Проверьте (tg x−tg y)cos x cos y=sin(x−y).

Ключ самостоятельной работы

1. Верно при cos x≠0: почленно разделим числитель на cos x.
2. Равенство верно лишь при cos x≠0; на точках cos x=0 левая часть не определена.
3. Верно при cos x≠0: (cos²x+sin²x)/cos²x=1/cos²x.
4. cos 2x при cos x≠0; после умножения на cos²x получаем cos²x−sin²x.
5. Да при cos x≠0: 2sin x cos x=sin 2x. Проверка при x=π/4 даёт 1=1.
6. Исходный знаменатель tg x≠0, значит sin x≠0 и cos x≠0. При x=0 исходная дробь имеет вид 0/0.
7. Верно при sin x cos x≠0: sin/cos+cos/sin=(sin²+cos²)/(sin cos).
8. Верно при cos x≠0; 1−cos²x=sin²x.
9. Верно там, где cos x cos y cos(x−y)≠0: формула разности тангенсов следует из sin(x−y)/cos(x−y).
10. Верно при cos x cos y cos(x+y)≠0. Дополнительно делитель 1−tg x tg y не равен нулю.
11. Да при cos x≠0; числитель разности после приведения к общему знаменателю.
12. tg(π/2) не определён как действительное число; «бесконечность» не является значением функции.
13. Да на cos x≠0: обе части равны cos 2x.
14. Обратное утверждение о равенстве дробей допустимо лишь при cos x≠0; умножением расширить область исходной дроби нельзя.
15. Верно при cos x≠0: sin x/cos x · 2sin x cos x=2sin²x.
16. Верно при cos x cos y≠0: sin x cos y−sin y cos x=sin(x−y).

Два способа проверки спорных преобразований

Способ 1 — символьный: замените tg x на sin x/cos x, приведите к одному знаменателю и примените sin²x+cos²x=1. Способ 2 — контрпример: найдите допустимый угол, на котором предполагаемое неверное равенство нарушается. Контрпример опровергает общее утверждение, но совпадение на одном значении ещё не доказывает тождество.

В заданиях с двумя углами x и y проверка особенно важна. Функция tg(x+y) определена тогда и только тогда, когда cos(x+y)≠0, а записи с tg x и tg y отдельно требуют cos x cos y≠0. Если использовать формулу тангенса суммы, дополнительно нужен ненулевой знаменатель 1−tg x tg y. Это условие эквивалентно cos(x+y)≠0 при определённых tg x и tg y, что следует из cos(x+y)=cos x cos y(1−tg x tg y).

Для взаимной проверки обменяйтесь вариантами и оценивайте не только конечную формулу, но и ОДЗ. Верный ответ без области определения считается неполным: в задачах 2, 6, 12 и 14 такое упущение существенно меняет утверждение. Если упрощённые стороны совпали, подставьте одно допустимое значение и отдельно одно запрещённое, объяснив, почему запрещённое не является проверочным числом для исходной записи.

Подробный разбор составных проверок

В задании 9 нужно удостовериться, что формула тангенса разности углов не потеряла значения, на которых её левая дробь не определена. При cos x cos y≠0 имеем tg x−tg y=[sin x cos y−sin y cos x]/(cos x cos y)=sin(x−y)/(cos x cos y). Аналогично 1+tg x tg y=[cos x cos y+sin x sin y]/(cos x cos y)=cos(x−y)/(cos x cos y). Деление первой дроби на вторую даёт tg(x−y) только при cos(x−y)≠0. Если косинус разности равен нулю, знаменатель исходной левой части тоже нуль; допускать эту точку нельзя.

В задании 10 знаки меняются согласованно: tg x+tg y в числителе соответствует sin(x+y), а 1−tg x tg y в знаменателе — cos(x+y). Отсюда возникает tg(x+y). Так легко проверить два возможных неправильных преобразования: заменить минус в знаменателе на плюс или поставить минус между тангенсами в числителе. Каждое из них описывает уже другую функцию. Вывод через синус и косинус надёжнее запоминания только символов.

Задание 7 проверяется объединением дробей по общему знаменателю sin x cos x. Числитель равен sin²x+cos²x=1. Если бы ученик сложил sin x/cos x и cos x/sin x как (sin x+cos x)/(sin x+cos x), он ошибся бы уже на этапе сложения дробей. Подставьте x=π/4: правильная левая часть равна 2, а неверный результат 1. Это допустимое контрольное значение; затем обязательно запишите общее символьное доказательство.

Работа с двумя областями определения

Возьмём равенство из задания 5: 2tg x/(1+tg²x)=sin 2x. Правая часть определена при всех x, а левая — лишь при cos x≠0. Если заменить левую часть на sin 2x, получим функцию с более широкой областью определения. В школьной записи это часто называют упрощением выражения, но в строгом смысле исходное выражение и итоговая функция совпадают лишь на исходной области. Нельзя объявлять тождеством на всей ℝ выражение, отсутствующее в отдельных точках.

При проверке сокращения в задании 6 выберите x=0 и x=π/4. При x=0 tg²x/tg x не определено, хотя tg x=0. При x=π/4 исходная дробь равна 1/1=1, а сокращённая функция также равна 1. Это пример того, почему надо использовать две разные проверки: допустимая точка демонстрирует равенство значений, запрещённая — различие областей. Похожая ситуация появляется при замене (sin x+cos x)/cos x на tg x+1: сокращение не отменяет требование cos x≠0.

В заданиях 1, 3, 4 и 8 ограничения происходят из cos x; в заданиях 6 и 7 добавляется условие sin x≠0; в 9 и 10 появляются условия сразу на два угла и их сумму или разность. Чтобы не пропустить исключения, после каждого вычисления перечислите все исходные знаменатели, а затем проверьте, не вносит ли окончательная запись дополнительных. Если в конце вы получите более узкую область, поясните, связано ли это с выбранной формой записи или с исходной задачей.