Проверка преобразования тождества при делении на тригонометрическое выражение: математический практикум для 10 класса

Математика, 10 класс. Карточка MATH-1721

Учебная цель: обосновывать преобразование тригонометрического тождества с делением, точно записывать ОДЗ и исключать посторонние корни.

Почему привычное сокращение бывает опасным

Ученик написал: (sin²x − sin x)/sin x = sin x − 1 при любом действительном x. Алгебраическая часть сокращения верна, но слова «при любом» неверны: исходная дробь не определена при sin x = 0, то есть при x = πk, k — целое. Полученное после сокращения выражение там определено. Тождество можно считать верным только на общей области определения сторон.

Три действия проверки: записать исходный знаменатель, определить точки, в которых он обращается в ноль, и только затем сокращать. Деление на ноль не становится допустимым оттого, что множитель удалось сократить в записи. Для sin x ≠ 0 имеем x ≠ πk; для cos x ≠ 0 имеем x ≠ π/2 + πk. Все углы далее заданы в радианах.

Уровень I — найти запрет и восстановить равенство

В пунктах 1–8 считайте правую часть предложенной. Установите, на какой области она совпадает с исходной левой дробью, и приведите одно запрещённое значение x.

1. 1. sin²x / sin x = sin x
2. 2. cos²x / cos x = cos x
3. 3. (sin x cos x)/sin x = cos x
4. 4. (sin x cos x)/cos x = sin x
5. 5. (1−cos²x)/sin x = sin x
6. 6. (1−sin²x)/cos x = cos x
7. 7. sin(2x)/(2sin x) = cos x
8. 8. sin(2x)/(2cos x) = sin x

Уровень II — диагностика формулировок

1. 9. Если sin x ≠ 0, то (sin²x + sin x)/sin x = sin x + 1.
2. 10. Равенство cos²x/cos x = cos x верно при x = π/2.
3. 11. При sin x ≠ 0 можно заменить (sin x − sin x cos x)/sin x на 1−cos x.
4. 12. Выражение (1−cos²x)/sin x определено при x=π.
5. 13. Для всех x имеем sin(2x)/(sin x cos x)=2.
6. 14. Из cos x·(sin x/cos x)=sin x следует, что sin x/cos x определено при x=π/2.
7. 15. Если cos x ≠ 0, то (cos²x−1)/cos x = −sin²x/cos x.
8. 16. Преобразование sin²x/(1−cos x)=1+cos x допускает x=0.

Уровень III — проверьте корни после сокращения

1. 17. Решите (sin²x − sin x)/sin x = 0.
2. 18. Решите (cos²x − cos x)/cos x = 0.
3. 19. Решите (sin²x −1)/sin x = 0.
4. 20. Решите (cos²x −1)/cos x = 0.
5. 21. Решите sin x·(cos x−1)/sin x = 0.
6. 22. Решите cos x·(sin x−1)/cos x = 0.
7. 23. Решите sin(2x)/(2sin x) = 0.
8. 24. Решите (sin²x−cos²x)/(sin x cos x)=0.

Ключ к заданиям и проверка

Пункты 1–8

1. 1. sin x ≠ 0, x ≠ πk; результат sin x. Запрещённую точку можно выбрать из указанного семейства.
2. 2. cos x ≠ 0, x ≠ π/2 + πk; результат cos x. Запрещённую точку можно выбрать из указанного семейства.
3. 3. sin x ≠ 0; результат cos x. Запрещённую точку можно выбрать из указанного семейства.
4. 4. cos x ≠ 0; результат sin x. Запрещённую точку можно выбрать из указанного семейства.
5. 5. sin x ≠ 0; используется 1−cos²x=sin²x. Запрещённую точку можно выбрать из указанного семейства.
6. 6. cos x ≠ 0; используется 1−sin²x=cos²x. Запрещённую точку можно выбрать из указанного семейства.
7. 7. sin x ≠ 0; sin(2x)=2sin x cos x. Запрещённую точку можно выбрать из указанного семейства.
8. 8. cos x ≠ 0; sin(2x)=2sin x cos x. Запрещённую точку можно выбрать из указанного семейства.

Пункты 9–16

1. 9. Верно на sin x ≠ 0: вынесите sin x в числителе.
2. 10. Неверно: cos(π/2)=0, исходное частное не существует.
3. 11. Верно, сокращён общий множитель sin x.
4. 12. Неверно: sin π=0, дробь имеет вид 0/0.
5. 13. Неверно «для всех»: sin x cos x ≠ 0 обязательно; на этой области результат 2.
6. 14. Неверно: дробь не определена при cos x=0, умножение на ноль не спасает.
7. 15. Верно по формуле cos²x−1=−sin²x; здесь ничего не сократили.
8. 16. Неверно: 1−cos 0=0, исходная дробь не существует.

Пункты 17–24

1. 17. При sin x ≠ 0 получаем sin x−1=0, поэтому x=π/2+2πk.
2. 18. При cos x ≠ 0 получаем cos x=1, откуда x=2πk.
3. 19. При sin x ≠ 0 имеем sin²x=1, x=π/2+πk.
4. 20. При cos x ≠ 0 имеем cos²x=1, x=πk.
5. 21. После сокращения cos x−1=0 даёт x=2πk, но там sin x=0. Решений нет.
6. 22. После сокращения sin x=1 даёт x=π/2+2πk, но cos x=0. Решений нет.
7. 23. На sin x ≠ 0 выражение равно cos x. Значит x=π/2+πk.
8. 24. Условия sin x cos x ≠ 0. Из sin²x=cos²x следует cos(2x)=0, то есть x=π/4+πk/2; запреты не нарушены.

Важное различие: равенство выражений на общей области ещё не означает, что уравнения с исходными и сокращёнными выражениями имеют одинаковый набор решений. В пунктах 21–22 именно забытое исключение x=πk либо x=π/2+πk создаёт посторонний корень. Подстановка в первоначальный знаменатель — обязательный заключительный шаг.

Подробная проверка трёх пограничных случаев

Случай 1: пропущенная точка при сокращении. Пусть x=π. В записи (1−cos²x)/sin x числитель равен 1−(−1)²=0, знаменатель sin π=0. Хотя формула 1−cos²x=sin²x позволяет написать sin x после сокращения, исходная дробь не превращается в число 0 при x=π. Она вообще не имеет значения. Поэтому запись «равно sin x» нужно сопровождать условием sin x≠0. В работе с графиками это означает: графики совпадают там, где существует исходная дробь, но у графика исходной функции есть выколотые точки.

Случай 2: неверное расширение множества решений. Рассмотрим (sin x cos x)/sin x=0. После сокращения остаётся cos x=0. Получаем x=π/2+πk, и все эти значения допустимы: sin x равно ±1. Поэтому сокращение здесь не привело к потере или приобретению корней. Внешне похожее уравнение sin x(cos x−1)/sin x=0 даёт cos x=1, но все такие значения имеют sin x=0 и запрещены. Разница между задачами обнаруживается только на последнем шаге проверки исходного знаменателя.

Случай 3: два запрета вместо одного. У дроби (sin²x−cos²x)/(sin x cos x) исключены не только нули синуса, но и нули косинуса. На обычном языке это означает: дробь не определена, если хотя бы один множитель знаменателя обращается в ноль. При найденных корнях x=π/4+πk/2 абсолютные значения sin x и cos x равны √2/2; знаменатель не равен нулю. Поэтому все такие корни остаются в ответе. Для проверки достаточно вычислить оба множителя по отдельности.

Схема доказательства: три логических статуса

При проверке выражений удобно не смешивать три вывода. Первый: «преобразование алгебраически верно на общей ОДЗ», как sin²x/sin x=sin x при sin x≠0. Второй: «две формулы задают одну и ту же функцию с одинаковой областью определения»; это более сильное утверждение, и в приведённом примере оно ложно, поскольку правая часть определена в точках x=πk. Третий: «два уравнения имеют одинаковые корни»; это выясняется отдельно после проверки каждого кандидата. Запись ограничения возле каждой дроби позволяет не смешивать эти статусы.

Полезно проговорить, почему нельзя «сократить ноль». Операция деления A/B определена только при B≠0, независимо от того, чему равен числитель. Символы 0/0 не обозначают результат действия. Если исходная запись не определена, никакое преобразование не может задним числом придать ей значение. На черновике отмечайте ограничения до преобразования, а не после нахождения корня: тогда меньше риск проверить не то уравнение.

Разбор типичных объяснений ученика

Фраза «у sin x нули всё равно не играют роли» неверна: в заданиях на решения нули могут оказаться единственными кандидатами, а затем все должны быть исключены. Фраза «если сократили синус, ОДЗ больше не нужна» тоже неверна: ОДЗ относится к первоначально поставленной задаче, а не к окончательному виду записи. Верное объяснение выглядит так: «при sin x≠0 сокращаем общий множитель; затем находим кандидатов; каждого подставляем в исходный знаменатель». Такой алгоритм подходит и для дробей с cos x и sin(2x).