Проверка преобразования тождества при использовании суммы и разности углов: рабочий лист для 10 класса

Рабочий лист: таблица формул и проверка знаков

Проверяем преобразования суммы и разности двух углов. Расширение cos(α−β) и sin(α−β) отличается не тем, что «везде поменяли знак», а конкретным знаком перед смешанным произведением. В самостоятельной части используйте таблицу только для первых четырёх вопросов; далее попробуйте восстановить её по памяти. Указанные углы в градусах, если не оговорено иначе.

Часть I. Найдите пропуск или неверный знак

1. Запишите без пропусков sin(α+β).
2. Исправьте: sin(α−β)=sin α cos β+cos α sin β.
3. Запишите формулу cos(α+β).
4. Объясните, почему cos(α−β) содержит плюс.

В таблице у каждой формулы есть быстрый контроль. При β=0 сумма и разность превращаются в исходный угол α. При α=β формула для синуса разности обязана дать нуль, а для косинуса разности — единицу. Эти тестовые случаи сильнее простого заучивания знака: они помогают обнаружить неверную формулу ещё до длинного вычисления.

Часть II. Вычисления без калькулятора

5. Вычислите sin 75° через 45°+30°.
6. Вычислите cos 75° через 45°+30°.
7. Вычислите sin 15° через 45°−30°.
8. Вычислите cos 15° через 45°−30°.

Подсказка к точным значениям: sin45°=cos45°=√2/2, sin30°=1/2, cos30°=√3/2. После перемножения слагаемых получаются одинаковые знаменатели 4. Если ответ в первой четверти отрицательный, в формуле потерян знак либо перепутаны функции.

Часть III. Пара углов по известным синусам и косинусам

9. Пусть sin α=3/5, cos α=4/5, sin β=5/13, cos β=12/13. Найдите sin(α+β).
10. Для тех же α и β найдите cos(α+β).
11. Для тех же α и β найдите sin(α−β).
12. Для тех же α и β найдите cos(α−β).

В задачах 9–12 углы α и β острые. Даны непротиворечивые пары, поскольку (3/5)²+(4/5)²=1 и (5/13)²+(12/13)²=1. Пользуйтесь общим знаменателем 65. После вычисления также сравните 56²+33² с 65²: должно получиться равенство. Это обратная проверка результатов для суммы.

Часть IV. Найдите противоречие и предложите проверку

13. Проверьте утверждение sin(α−β)=sin(α+β) при α=β=30°.
14. Сократите sin(90°−α) без таблицы значений.
15. Найдите cos(90°+α).
16. Вычислите sin 105° и проверьте знак.

Подробный ключ и правильные преобразования

1. sin α cos β + cos α sin β.
2. Между слагаемыми нужен минус: sin α cos β−cos α sin β.
3. cos α cos β−sin α sin β.
4. cos(α−β)=cos α cos β+sin α sin β, так как cos(−β)=cos β и sin(−β)=−sin β.
5. (√6+√2)/4: (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2).
6. (√6−√2)/4: (√2/2)(√3/2)−(√2/2)(1/2).
7. (√6−√2)/4; второй член вычитается.
8. (√6+√2)/4; второй член прибавляется.
9. (3·12+4·5)/65=56/65.
10. (4·12−3·5)/65=33/65.
11. (3·12−4·5)/65=16/65.
12. (4·12+3·5)/65=63/65.
13. Неверно: sin 0°=0, а sin 60°=√3/2.
14. cos α: sin 90° cos α−cos 90° sin α=cos α.
15. −sin α: cos 90° cos α−sin 90° sin α=−sin α.
16. (√6+√2)/4, так как sin(60°+45°)>0 во II четверти.

Проверка ответов 9–12: 56²+33²=3136+1089=4225=65²; для разности 16²+63²=256+3969=4225. Эти равенства подтверждают, что вычисленные пары могут быть синусом и косинусом одного угла. Но сами по себе они не доказывают правильный выбор знака: неверная пара со знаками тоже иногда удовлетворяет основному тождеству, поэтому важно сохранить исходную формулу.

Если перепутали суммы и разности, вернитесь к проверке α=β. Если при 75° получился отрицательный синус, запишите четверть: 75° лежит в первой, оба синус и косинус положительны. При вычислении cos(90°+α) угол находится во второй четверти для острого α; отрицательный знак подтверждает формулу.

Самостоятельная проверка: что делать, если вычисления не сходятся

Проверим вывод sin 75° в несколько этапов. Сначала распишем sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°. После подстановки табличных значений получается √6/4+√2/4. Оба слагаемых положительны, что согласуется с положительным синусом в первой четверти. Для cos 75° второе слагаемое уже вычитается: √6/4−√2/4. Так как 75° ближе к 90°, чем к 0°, его косинус должен быть меньше синуса; это даёт ещё одну проверку без калькулятора.

Для 15° различие заметно наоборот: cos15° значительно больше sin15°, поскольку угол близок к нулю. Вы можете проверить результат через формулу суммы: sin(45°−30°) должен совпасть с sin15°. А затем объединить обе найденные величины и вычислить sin²15°+cos²15°; после раскрытия квадратов сумма равна 1. Такая обратная проверка не заменяет исходную формулу, но быстро обнаруживает арифметическую ошибку при приведении радикалов.

Отдельное задание для учителя — попросить объяснить, почему в строках таблицы для косинуса знак перед произведением синусов противоположен знаку между аргументами. Это можно вывести из cos(α−β)=cos(α+(−β)), пользуясь чётностью косинуса и нечётностью синуса. Тогда при замене β на −β первое произведение cosαcosβ не меняется, а второе меняет знак. Никакого заучивания двух независимых формул не требуется.

В задачах 9–12 заранее указано, что оба угла острые. Это важно для осмысленности знаков: заданные положительные sin и cos совместимы с первой четвертью. Если сообщить только sinα=3/5 без условия на четверть, косинус мог бы иметь знак минус, и ответ для суммы углов был бы неоднозначным. Поэтому нельзя молча выбирать положительный корень из равенства cos²α=1−sin²α, когда четверть не названа.