Проверка применения свойств интеграла при смене пределов интегрирования: задания с разбором, 11 класс

В этой карточке рассматривается только смена порядка пределов определённого интеграла. Нужно определить, как меняется знак результата, а затем проверить вычисление по первообразной. Это не задание на поиск площади фигуры: определённый интеграл учитывает знак функции.

Главный тезис: ∫_a^b f(x) dx = −∫_b^a f(x) dx. При одинаковых пределах значение равно нулю.

Опорная таблица для вычислений

В каждом столбце известна величина интеграла в указанном направлении. Не меняйте пределы «мысленно» без изменения знака.

Часть I. Прочитайте таблицу и восстановите знак

1. Найдите ∫₂⁰ (x + 1) dx по строке A.
2. Чему равно ∫₁⁻¹ x² dx? Объясните, почему результат отрицателен.
3. Вычислите ∫₃¹ (2x − 1) dx, не повторяя интегрирование.
4. Найдите ∫_π⁰ sin x dx.
5. Проверьте запись ученика: 3∫₂⁰ (x + 1) dx = 12.
6. Вычислите −2∫₋₁¹ x² dx.
7. Сколько даёт сумма ∫₁³ (2x − 1) dx + ∫₃¹ (2x − 1) dx?
8. Вычислите −∫₂⁰ (x + 1) dx + ∫₀² (x + 1) dx.

Часть II. Найдите и обоснуйте исправление

Проверьте, где изменяются пределы, а где только подынтегральная функция. Для любого выражения сначала запишите короткое преобразование знаков.

9. Чему равен ∫₄⁴ (x⁵ − 7) dx? Требуется ли находить первообразную?
10. Определите ∫₀² (x + 1) dx − ∫₂⁰ (x + 1) dx.
11. Найдите ∫₋₁¹ x² dx + ∫₁⁻¹ x² dx.
12. Дан ∫₂⁵ f(x) dx = −7. Вычислите ∫₅² f(x) dx и аргументируйте знак.
13. Чему равна сумма ∫₃¹(2x − 1) dx + ∫₂⁰(x + 1) dx?
14. Вычислите ∫₂⁰ (−x − 1) dx. Почему здесь положительный результат?
15. Сравните ∫₋₁¹ (x² − 1) dx и ∫₁⁻¹ (x² − 1) dx; найдите оба числа.
16. Для f(x)=3x² получите ∫₁⁻² f(x) dx и объясните проверку через первообразную.

Ключ с пояснениями для самопроверки

Каждому номеру соответствует отдельный шаг рассуждения. Учитель может сначала закрыть эту часть листом бумаги: в задании 5 характерная ошибка обнаруживается уже по отрицательному знаку.

• № 1. −4. При перестановке 0 и 2 значение A меняет знак.
• № 2. −2/3: интеграл в обратном направлении противоположен B, даже когда x² ≥ 0.
• № 3. −6. В строке C значение равно 6, обратные границы дают −6.
• № 4. −2. На [0; π] синус неотрицателен, но направление здесь обратное.
• № 5. Неверно. 3·(−4) = −12; внешний положительный множитель знак не исправляет.
• № 6. −4/3. Умножение 2/3 на −2 даёт отрицательный результат.
• № 7. 0. Два одинаковых интеграла с противоположно направленными пределами взаимно уничтожаются.
• № 8. 8. Первое слагаемое −(−4)=4, второе равно 4.
• № 9. 0: при совпадающих границах любой интегрируемой функции интеграл равен нулю.
• № 10. 8 = 4 − (−4). Ошибка −4 получается, если забыть, что второе значение отрицательно.
• № 11. 0: это B + (−B), значение B вычислять повторно не требуется.
• № 12. 7. Перестановка 2 и 5 меняет знак −7 на 7; она не изменяет саму функцию.
• № 13. −10 = −6 − 4, оба направления обратны строкам C и A.
• № 14. 4. Здесь ∫₀² (−x−1) dx = −4, а смена пределов даёт ещё один минус: −(−4)=4.
• № 15. Первый равен 2/3 − 2 = −4/3. Второй равен 4/3. Знак сменился только из-за порядка пределов.
• № 16. −9. Первообразная x³, потому [x³] от −2 до 1 = 1 − (−8)=9; при границах от 1 к −2 получаем −9.

Почему типичные ответы бывают неверными

Нельзя писать, что смена пределов «не влияет, потому что промежуток тот же». Геометрический набор точек не меняется, но ориентация интегрирования меняется. Знак зависит от направления, а не от расположения графика относительно оси.

Если подынтегральная функция отрицательна, одновременно возможны два источника минусов: знак функции и перестановка границ. В № 14 они взаимно компенсируются. При a=b ответ всегда нулевой, и отдельное нахождение первообразной не требуется.

Дополнительная проверка: вычислите любую из задач через F(b)−F(a), затем поменяйте a и b. Получится F(a)−F(b), то есть противоположное число. Именно этим объясняется правило, а не механическим запоминанием.

Проверка четырёх спорных записей

Запись «∫₂⁰ f = ∫₀² f, потому что обе границы обозначают тот же отрезок» неверна. У интеграла есть направление. Возьмите простейшую функцию f(x)=1: от 0 до 2 получится 2, а от 2 до 0 — −2. При такой проверке ошибка заметна без вычисления сложной первообразной.

Запись «Если график ниже Ox, смена пределов сохраняет отрицательный знак» тоже неверна. Для f(x)=−3 на [1;4] исходный интеграл равен −9, а обратный ∫₄¹ f равен +9. Знак функции и знак смены пределов — два независимых действия. Именно поэтому номер 14 даёт положительное число.

Наконец, нельзя путать смену пределов и замену переменной. Если в интеграле выполняют замену x=φ(t), изменяются границы, но одновременно появляется множитель φ′(t). В этой работе никакая замена переменной не выполняется: подынтегральное выражение остаётся прежним, меняются местами только две границы.

Практический алгоритм: подчеркните нижний и верхний пределы, рядом напишите исходное значение, поставьте один знак минус при их перестановке, а затем выполните внешние действия — умножение, сложение или вычитание. Не упрощайте сразу всю строку: промежуточная запись помогает быстро обнаружить потерянный знак.