Проверка принадлежности числа прогрессии для членов с разными знаками — тренажёр для 9 класса

Задачи с обратной проверкой. Рассматриваем арифметические прогрессии, в которых встречаются положительные и отрицательные члены; в некоторых есть ноль. Проверка принадлежности числа x должна дать натуральный номер n ≥ 1. Основная формула x = a₁ + (n − 1)d. Если d ≠ 0, найдите n = 1 + (x − a₁)/d. Но обратной подстановки пропускать нельзя: она одновременно проверяет знак разности и вычисления с отрицательными числами.

Базовый пример — от положительных членов к отрицательным

Пусть a₁=17, d=−4, и надо проверить число −11. Вычислим n = 1 + (−11−17)/(−4) = 1+7=8. Подстановка a₈=17+7·(−4)=−11 подтверждает принадлежность. Члены: 17, 13, 9, 5, 1, −3, −7, −11. Смена знака не разрушает прогрессию: разность всё время равна −4.

Изменим только искомое число на −10. Получается n = 1 + (−10−17)/(−4) = 1+27/4 = 31/4. Дробный индекс невозможен. При этом число −10 находится между двумя членами, но не является членом последовательности. Принадлежность нельзя решать округлением номера.

Часть I — найдите номер и проверьте подстановкой

Задание 1. Прогрессия задана a₁=23, d=-5. Число -12 — член прогрессии? Если да, назовите n. Покажите обратную подстановку или причину отказа.

Задание 2. Прогрессия задана a₁=-14, d=4. Число 18 — член прогрессии? Если да, назовите n. Покажите обратную подстановку или причину отказа.

Задание 3. Прогрессия задана a₁=31, d=-6. Число -5 — член прогрессии? Если да, назовите n. Покажите обратную подстановку или причину отказа.

Задание 4. Прогрессия задана a₁=-21, d=5. Число 9 — член прогрессии? Если да, назовите n. Покажите обратную подстановку или причину отказа.

Задание 5. Прогрессия задана a₁=16, d=-3. Число -2 — член прогрессии? Если да, назовите n. Покажите обратную подстановку или причину отказа.

Задание 6. Прогрессия задана a₁=-30, d=7. Число 5 — член прогрессии? Если да, назовите n. Покажите обратную подстановку или причину отказа.

Задание 7. Прогрессия задана a₁=11, d=-2. Число -9 — член прогрессии? Если да, назовите n. Покажите обратную подстановку или причину отказа.

Задание 8. Прогрессия задана a₁=-8, d=3. Число 7 — член прогрессии? Если да, назовите n. Покажите обратную подстановку или причину отказа.

Задание 9. Прогрессия задана a₁=19, d=-4. Число -5 — член прогрессии? Если да, назовите n. Покажите обратную подстановку или причину отказа.

Задание 10. Прогрессия задана a₁=-25, d=6. Число 17 — член прогрессии? Если да, назовите n. Покажите обратную подстановку или причину отказа.

Часть II — изменённые условия и обратная проверка

В этой серии полезно сначала дать быстрый ответ на глаз, затем обязательно перейти к формуле. Не считайте, что после первого отрицательного члена должны идти только отрицательные: при положительной разности прогрессия может пересечь ноль и стать положительной. При отрицательной разности происходит обратный переход.

Задание 11. Для a₁=14, d=-4 ученик утверждает, что число -5 принадлежит прогрессии. Согласитесь или опровергните. Если n не подходит, объясните, является ли препятствием знак, дробность или нулевой номер.

Задание 12. Для a₁=-17, d=5 ученик утверждает, что число 14 принадлежит прогрессии. Согласитесь или опровергните. Если n не подходит, объясните, является ли препятствием знак, дробность или нулевой номер.

Задание 13. Для a₁=9, d=-3 ученик утверждает, что число 0 принадлежит прогрессии. Согласитесь или опровергните. Если n не подходит, объясните, является ли препятствием знак, дробность или нулевой номер.

Задание 14. Для a₁=-6, d=2 ученик утверждает, что число 3 принадлежит прогрессии. Согласитесь или опровергните. Если n не подходит, объясните, является ли препятствием знак, дробность или нулевой номер.

Задание 15. Для a₁=7, d=-5 ученик утверждает, что число 12 принадлежит прогрессии. Согласитесь или опровергните. Если n не подходит, объясните, является ли препятствием знак, дробность или нулевой номер.

Задание 16. Для a₁=-9, d=4 ученик утверждает, что число -13 принадлежит прогрессии. Согласитесь или опровергните. Если n не подходит, объясните, является ли препятствием знак, дробность или нулевой номер.

Полные ответы с обратной проверкой

1. Да: n=1+(-12−(23))/(-5)=8. Проверка: a₈=23+(8−1)·(-5)=-12.

2. Да: n=1+(18−(-14))/(4)=9. Проверка: a₉=-14+(9−1)·(4)=18.

3. Да: n=1+(-5−(31))/(-6)=7. Проверка: a₇=31+(7−1)·(-6)=-5.

4. Да: n=1+(9−(-21))/(5)=7. Проверка: a₇=-21+(7−1)·(5)=9.

5. Да: n=1+(-2−(16))/(-3)=7. Проверка: a₇=16+(7−1)·(-3)=-2.

6. Да: n=1+(5−(-30))/(7)=6. Проверка: a₆=-30+(6−1)·(7)=5.

7. Да: n=1+(-9−(11))/(-2)=11. Проверка: a₁₁=11+(11−1)·(-2)=-9.

8. Да: n=1+(7−(-8))/(3)=6. Проверка: a₆=-8+(6−1)·(3)=7.

9. Да: n=1+(-5−(19))/(-4)=7. Проверка: a₇=19+(7−1)·(-4)=-5.

10. Да: n=1+(17−(-25))/(6)=8. Проверка: a₈=-25+(8−1)·(6)=17.

11. n=1+(-5−(14))/(-4)=23/4. Утверждение ложно: номер дробный, хотя действительное число формально решает уравнение.

12. n=1+(14−(-17))/(5)=36/5. Утверждение ложно: номер дробный, хотя действительное число формально решает уравнение.

13. n=1+(0−(9))/(-3)=4. Утверждение верно: a₄=9+(4−1)·(-3)=0.

14. n=1+(3−(-6))/(2)=11/2. Утверждение ложно: номер дробный, хотя действительное число формально решает уравнение.

15. n=1+(12−(7))/(-5)=0. Утверждение ложно: номер не положителен.

16. n=1+(-13−(-9))/(4)=0. Утверждение ложно: номер не положителен.

Почему знак числа сам по себе ничего не решает

Рассмотрим a₁=23, d=−5. После положительных значений прогрессия проходит через 3, −2, −7, −12. Нельзя объявить −12 невозможным только потому, что первый член положителен: членство проверяется по целому номеру. Точно так же у прогрессии a₁=−14, d=4 положительное значение может появиться через несколько шагов.

Полезная проверка на ошибку со знаком: если d < 0 и x < a₁, числитель x−a₁ отрицателен; деление двух отрицательных величин даёт положительное число. Потеря любого из этих минусов превращает допустимый номер в отрицательный. В обратной подстановке разность обязательно берите со своим знаком.

Равенство x = a₁ + (n−1)d — необходимое и достаточное условие членства только для натурального n. Вычисленное вещественное n не всегда допустимо: дробные номера, ноль и отрицательные индексы не относятся к прогрессии. При d=0 дополнительное правило: x принадлежит ей тогда и только тогда, когда x=a₁; конкретный номер не единственный.

Обратная проверка для отрицательного числа выполняется так же, как для положительного. Не нужно искать модуль x или менять знак d. Для самостоятельной оценки начислите по 1 баллу за верный вывод, ещё по 1 за индекс или доказанную невозможность и ещё по 1 за обратную проверку. После задания сравните выбранные номера с соседними членами: их значения должны отличаться ровно на d.

Если ошибка повторяется, сделайте маленькую табличку значений a₁, a₂, a₃ и найдите разность между ними. Она должна совпасть с d. Затем проверьте вычисленное n без округления. Такой двойной контроль особенно полезен, когда число меняет знак: отрицательный член — обычный член арифметической прогрессии, а не исключение из определения.