Проверка принадлежности точки графику для прямых с противоположными наклонами — тренажёр для 7 класса

Первые три вопроса — экспресс-диагностика. Не стройте график наугад: подставьте абсциссу в каждую формулу и сравните полученное число с указанной ординатой.

1. Контроль 1. Точка (0; 4) лежит на обеих прямых y = 2x + 4 и y = −2x + 4? Почему?
2. Контроль 2. Принадлежит ли (3; 1) графику y = −x + 4? А графику y = x + 4?
3. Контроль 3. У прямых y = 3x − 2 и y = −3x − 2 найдите общую точку.

Короткое правило перед основной серией

Если дана точка P(x₀; y₀), проверка принадлежности графику y = kx + b сводится к равенству y₀ = kx₀ + b. У прямых с наклонами k и −k (k ≠ 0) направления роста противоположны, но точка пересечения зависит ещё и от свободных членов. Точка может лежать на одной прямой, на обеих или ни на одной.

Девять новых проверок

4. Точка (2; 7): проверьте прямые y = 2x + 3 и y = −2x + 3.
5. Точка (−1; 5): проверьте y = −3x + 2 и y = 3x + 2.
6. Могут ли обе прямые y = 4x + 1 и y = −4x + 1 содержать точку с x = 2?
7. Какую точку с x = −2 содержит прямая y = 2x − 1? Принадлежит ли она y = −2x − 1?
8. Вычислите ординату общей точки y = x + 6 и y = −x + 6.
9. Для y = −2x + 5 и y = 2x − 3 проверьте точку (2; 1).
10. Заполните пропуск: точка (−3; __) лежит на y = −x + 2; сравните с y = x + 2.
11. Ученик увидел противоположные наклоны и решил, что (1; 0) обязательно общая. Проверьте y = 5x − 5 и y = −5x + 5.
12. Найдите x общей точки y = 3x + 7 и y = −3x + 1 и проверьте найденную ординату.

Быстрый ключ и пояснения к спорным пунктам

1. Да. При x = 0 оба выражения равны 4; точка (0; 4) общая.
2. Для y = −x + 4: −3 + 4 = 1, да. Для y = x + 4: 3 + 4 = 7, нет.
3. 3x − 2 = −3x − 2, значит 6x = 0, x = 0 и y = −2; общая точка (0; −2).
4. 2·2 + 3 = 7 — да; −2·2 + 3 = −1 — нет.
5. −3·(−1) + 2 = 5 — да; 3·(−1) + 2 = −1 — нет.
6. Нет. Первое значение при x = 2 равно 9, второе −7; общая точка этих двух прямых имеет x = 0.
7. 2·(−2) − 1 = −5: (−2; −5). По другой формуле −2·(−2) − 1 = 3, не принадлежит.
8. При x = 0 значения обеих функций равны 6, общая точка (0; 6).
9. Для первой функции −4 + 5 = 1; для второй 4 − 3 = 1. Точка (2; 1) лежит на обеих.
10. −(−3) + 2 = 5. Для второй y = −3 + 2 = −1. Ответ: 5; на второй прямой точки нет.
11. Первая: 5 − 5 = 0; вторая: −5 + 5 = 0. Здесь точка действительно общая, но это надо доказать подстановкой: одного знака наклонов недостаточно.
12. 3x + 7 = −3x + 1, откуда 6x = −6, x = −1; y = 4. Точка (−1; 4) принадлежит обеим.

Вопросы 9 и 11 особенно полезны: противоположные коэффициенты наклона ещё не гарантируют общего нуля или одной и той же точки при x = 1. Всегда проверяйте полную пару координат, а не только знак наклона.

Оценивание: 1 балл за верное заключение, 1 дополнительный за показанную подстановку в заданиях 3, 9 и 12. Убедитесь, что в ответе ясно различаются «лежит на одной» и «лежит на обеих» прямых.