Проверка принадлежности точки графику по графику тарифного плана — мини-практикум с ответами, 7 класс

Исследуем модель интернет-тарифа: точки на графике — это пары «расход в гигабайтах; плата в тенге». В отличие от задания на восстановление двух коэффициентов здесь главное — проверять, действительно ли предложенная пара координат принадлежит графику.

Наблюдение по таблице

Плата растёт равномерно с ростом расхода: за каждые 2 ГБ сумма увеличивается на 90 тг. Следовательно, цена ещё одного гигабайта неизменна, а начальная плата ненулевая. Сформулируйте правило сами и проверяйте его на новых точках.

В учебной модели x ≥ 0 и допускаются нецелые гигабайты. Для графика зафиксированного тарифного плана связь считается строго линейной: оплата ведётся пропорционально использованному объёму без округления до целого гигабайта. В реальных договорах правила могут отличаться; наши данные — не предложение оператора.

Проверяем гипотезу: от числовой таблицы к формуле

Прежде чем решать вопросы, исследуйте таблицу как экспериментальные данные. Если x изменяется с 0 до 2, прибавляется 90 тг. От 2 до 4 прибавляется снова 90 тг, от 4 до 6 — ещё 90 тг. Постоянная разность за один и тот же шаг — признак линейной зависимости. Из этого следует не только таблица отдельных платежей, но и правило для любого промежуточного расхода: за каждый дополнительный гигабайт сумма растёт ровно на 45 тг. Например, половина гигабайта добавляет 22,5 тг, а треть гигабайта — 15 тг. Обязательная плата 180 тг существует даже при нулевом расходе, поэтому график не проходит через начало координат.

Как в действительности показать принадлежность точки? Запишите обе координаты в правильном порядке. Пара (4; 360) соответствует четырём гигабайтам и оплате 360 тг; пара (360; 4) описывает совсем другую ситуацию и не подходит. Затем вычислите ожидаемую сумму по формуле и сравните с предложенным значением без преждевременного округления. Если отличие составляет даже 0,5 тг, точка не лежит на графике нашей точной модели. Можно объяснить ошибку округлением в чужом ответе, но нельзя из-за этого считать неравные числа равными.

Особое внимание уделите границе применимости модели. Математическая прямая бесконечна в обе стороны, но реальный расход интернет-трафика здесь неотрицательный. Точку с отрицательным x нельзя включить в прикладную часть графика, даже когда равенство y = 180 + 45x случайно выполнено. При этом x = 0 — вполне допустимое значение: оно означает, что в месяце был только обязательный платёж. Верхний предел расхода задачей не задан, поэтому проверку точек x = 7 и x = 8 можно выполнять без дополнительного ограничения.

Сформулируйте собственное предположение: могут ли две линейные модели давать один и тот же платёж за определённое количество гигабайтов, но различаться при других расходах? Да. Чтобы проверить эту гипотезу, достаточно подобрать две прямые с разной абонентской платой и разной ценой гигабайта. Их графики могут пересечься. Полное совпадение потребовало бы равенства и постоянных частей, и коэффициентов наклона. Это различие будет важно в заданиях 11–13.

Четырнадцать вопросов к точкам графика

1. По таблице платежей определите ежемесячный фиксированный сбор, не вычисляя наклон.
2. Рассчитайте, сколько тенге добавляется за 1 ГБ при переходе от 2 к 4 ГБ.
3. По двум точкам (2; 270) и (6; 450) восстановите формулу графика.
4. Проверьте, принадлежит ли точка (5; 405) графику тарифа.
5. Проверьте, принадлежит ли точка (4; 350) этому графику. Исправьте её ординату.
6. Проверьте наблюдение (1,5; 247,5), если доли гигабайта в модели допускаются.
7. Ученик заявил: «(−2; 90) лежит на тарифном графике, ведь формула даёт 90». Почему его вывод неверен для реального расхода?
8. Какую ординату имеет график при x = 8? Запишите соответствующую точку.
9. Восстановите абсциссу для точки с ординатой 540 тг и проверьте x подстановкой.
10. Может ли точка (7; 495) находиться на графике? Подтвердите вычислением.
11. При x = 4 другая условная компания берёт 120 + 60x тенге. Совпадают ли суммы? Совпадают ли целиком графики двух тарифов?
12. Подберите точку, которая подходит другому тарифу 120 + 60x при x = 2, но не подходит нашему тарифу.
13. Один ученик проверил только x = 4 и утверждает, что тарифы 180 + 45x и 120 + 60x одинаковы. Найдите контрпример при x = 6.
14. При 3,2 ГБ интернет оплачивается по линейной модели без округления расхода. Верна ли точка (3,2; 324)?

Подробный ключ исследовательской работы

1. По строке x = 0 плата равна 180 тг, это обязательная часть b.
2. (360 − 270) : (4 − 2) = 45 тг за 1 ГБ.
3. a = (450 − 270) : (6 − 2) = 45; b = 270 − 2·45 = 180. Следовательно, T(x) = 180 + 45x.
4. T(5) = 180 + 45·5 = 405. Да, принадлежит.
5. T(4) = 180 + 180 = 360. Ордината 350 ошибочна, верная точка (4; 360).
6. T(1,5) = 180 + 45·1,5 = 247,5. Да, при разрешённых долях ГБ точка корректна.
7. Алгебраически T(−2) = 90, но x здесь означает израсходованные гигабайты. Расход не может быть отрицательным; допустимая часть графика начинается с x = 0.
8. T(8) = 180 + 45·8 = 540; точка (8; 540).
9. 540 = 180 + 45x, значит 45x = 360, x = 8. Подстановка: T(8) = 540.
10. T(7) = 180 + 315 = 495; да.
11. При x = 4: T(4) = 360; Q(4) = 120 + 240 = 360. Но коэффициенты 45 и 60 различаются, поэтому графики совпадают только в одной точке.
12. Q(2) = 120 + 60·2 = 240, а T(2) = 270. Подходит (2; 240) только графику Q.
13. T(6) = 180 + 270 = 450; Q(6) = 120 + 360 = 480. Это контрпример: одна общая точка не делает тарифы тождественными.
14. T(3,2) = 180 + 45·3,2 = 180 + 144 = 324. Да, принадлежит.

Почему проверка одной точки не доказывает совпадение формул

Два тарифных графика могут пересечься, хотя оплачиваемая скорость изменения у них разная. Например, наш график T(x) = 180 + 45x и альтернативный Q(x) = 120 + 60x дают одинаковые суммы при x = 4. Но при увеличении расхода на 1 ГБ по первой модели платёж растёт на 45 тг, по второй — на 60 тг. Расхождение при x = 6 сразу показывает отличие.

Самая важная проверка ответа — не просто наличие равенства, а его смысл. Для формулы, применимой только к неотрицательному расходу, отрицательный x следует отклонить даже в том случае, когда алгебраическая подстановка верна. Кроме того, точка с округлённым платежом не обязана лежать на графике точной линейной функции.

Вывод: чтобы проверить принадлежность пары, подставьте абсциссу в тарифное правило, точно сравните платёж с ординатой и отдельно убедитесь, что расход соответствует условиям модели.